Вова Гореплюйкин, как вы знаете, получает огромное удовольствие от еды, особенно тогда, когда он хорошенько наедается. Разумеется, Вова имеет функцию полезности от потребления товаров Х и У (это опять бессмертные бесконечно делимые "БорБориски" разных вкусов): $TU(x,y)= 12 \ln x + 18 \ln y$. Цена товара Х составляет 4 афро, товара У — 9 афро. Поразгружав ночью вагоны, Вова смог заработать 90 афро.
Наш Вова — большой любитель жвачки. Жует он ее исключительно перед едой. Но, как известно, жевание жвачки перед едой дико подхлестывает аппетит, и это находит такое отражение на функцию полезности Вовы от поедания Х и У: если он хоть чуть–чуть пожевал свой любимый бабл–гам, то теперь, когда он съест некое количества товара Х или У, он получит полезность такую же, как если бы съел количество, в k раз меньшее, ($k>1$).
Наш Вова — большой любитель жвачки. Жует он ее исключительно перед едой. Но, как известно, жевание жвачки перед едой дико подхлестывает аппетит, и это находит такое отражение на функцию полезности Вовы от поедания Х и У: если он хоть чуть–чуть пожевал свой любимый бабл–гам, то теперь, когда он съест некое количества товара Х или У, он получит полезность такую же, как если бы съел количество, в k раз меньшее, ($k>1$).
То бишь теперь он прежним количеством еды наедается меньше, чем раньше. Однако само поедание жвачки в количестве $g$ добавляет ровно $g$ к его полезности. Цена одной жвачки равна 3.
Как верный друг Вовы, подскажите ему, стоит ли жевать жвачку перед едой и, если да, то сколько? Какое количество Х и У он приобретет?
Предположим теперь, что его доход вырос на 999 афро. Как он ими распорядится?
Комментарии
Два пути нахождения оптимума
1)Тогда полезность = 12ln(x)+18ln(10-(4/9)x), возьмем производную, она равна 12/х - 8/(-4/9*х+10), приравняем ёё к нулю, получим х=9,у=6.
2)Приравняем отношения предельных полезностей к цене 12/4х=18/9у, подставим в бюджтное ограничение найдем х=9,у=6
Теперь о жвачке, отношение предельной полезности потребления жвачки к ее цене постоянно и равно = (g/g)/3= 1/3, а в предыдущей ситуации у нас такие отношения равны и равны=12/4*9= 1/3, но тогда смысла замещать потребление сладостей потреблением жвачки, при этом делить полезность еще на К, естественно нет.
Если честно, то не думал, что первый же человек решит эту задачу без максимизации функции от двух переменных.
Вообще, если вы внимательно присмотритесь, то увидите, что предельная полезность от потребления Х и У не поменяется после жевания жвачки. Только общая (ведь ln(kx) = lnk +lnx). Но ход мысли абсолютно правильный. А ответ на второй вопрос? Кстати, а пусть жевание жвачки вообще не влияет на полезность от Х и У. Тогда смысл жевать появится или все равно нет?
Согласно закону убывающей предельной полезности, после данной "точки" предельные полезности от потребления Х и У будут убывать, то есть и отношения к цене будут убывать в то время как у жвачки этот показатель будет всё еще равен 1/3, тогда смысл однозначно появится, но вот в какой пропорции распределится потребление это надо еще посчитать...
"на вскидку" могу предположить что потребление х и у сохранится на уровне 9 и 6,дабы не уменьшать заветное соотношение пред. утилити/цена , а оставшиеся 909 рублей он потратит на жвачку получив от нее еще 303 дополнительных утилей...
И я повторю другой свой вопрос. Пусть, если он жует жвачку, то его функция полезности от Х и У остается такой же, как и без жвачки, то бишь U(x,y,g)= 12lnx + 18lny + g. Применяя прежний метод рассуждения, докажите, что потреблять жвачку он все равно не будет.
Да, и еще вопрос, для статистики: долго ли заняло все решение? С временем на "подумать" и прочее? Все равно вы решили ее первым, так что не грех сознаться. =)
По поводу времени: вчера потратил минут сорок,за полминуты найдя бюджетное ограичение как У=9 - 0,4 х ( НЕПРАВИЛЬНО, как обычно ошибся в элементарном) а потом двумя способами находил оптимум - ответ не сходился, я был в диком недоумении =) потратил часть времени именно на недоумение.
Сегодня после школы сел,все заново посчитал проверил, ушло где то полчаса, а на второй вопрос ушло мунут 5-10 размышлений.
Классная задача кстати, так ровненько всё сходится,загляденье)!
Насчет рассуждений: тут есть неточность. Ведь и у жвачки отношение полезности к цене равно 1/3. Почему бы тогда нам не купить сколько-нибудь?
Но ведь тогда бюджет оставшийся на сладости уменьшится и равенство отношений предельных полезностей и цен не будет выполняться(потребление х и / или у уменьшится) 12/4х=18/2у уже никак не будет равен 1/3,тогда потребление блага будет распределено неэффективно.
MUa/Pa = MUb/Pb = MUc/Pc = MUd/Pd (к примеру Микроэкономика Майкла Каца и Харви Роузена)если оно может выполняться(к счастью в этой задаче это именно так)то рациональный потребитель будет его соблдать, если же совсем не может( я так понимаю ты об этом случае) ... то это совсем другая история=)Завтра обязательно попытаюсь решить названные тобой задачи...
Если хоть чуть чуть купим то у жевачки будет меньше полезности на рубль чем у икс и игрек, ну это и есть следствие из того что равенство не выполняется,только лишь знак неравенства теперь уточнён. Ну и соответственно вывод : жевачка тут ни к чему. Спасибо за разьяснение, такой вывод действительно боле чист и прозрачен =)
По поводу Конфетин,знакомая задача, это ведь задача с Москвы 2008, она кстати у меня получилась,там ведь одно МУ/Р всегда больше другого,отсюда и нулевое потребление вторго блага, а вот про Петрова очень необычная штука, ведь то же самое что и про конфеты только "с другого конца" условие, только попастся в ловушку очень легко.
Насчет "конфетин". Реши эту задачу через порядковую теорию полезности, используя кривые безразличия и бюджетного ограничения. Посмотри, почему там не выполняется равенство.
В данной задаче действительно другого равновесия не придумаешь, наверное, так как предельные полезности принимают любое положительное значение, так что касание кривой безразличия и бюджетного ограничения будет неминуемо, что с двумя товарами, что с тремя. Ведь даже, если полезность от жвачки на рубль была бы равна 0.5, то она как бы "задает" границу остальным полезностям, так что равенство бы выполнялось, да.
Постарайтесь понять, откуда (я имею в виду смысл, а не математику) это правило берется, и тогда сформулируйте, при каких условиях его можно применять.
$U_1(x,y)=\sqrt{xy}$
$U_2(x,y)=x^2y^2$
Какие два набора (x1,y1) и (x2,y2) ни возьми, наши две функции дадут одинаковые выводы о том, какой из этих наборов лучше. Другими словами, эти две функции представляют одни и те же предпочтения на множестве наборов (x,y). Соответственно, у них будут одинаковые карты кривых безразличия. Оптимум потребителя будет в одной и той же точке - точке касания кривой безразличия и бюджетной линии. И возрастание (как у U2) или убывание (как у U1) предельной полезности, как видите, никакой роли не играет.
Можно сформулировать какой-нибудь набор предпосылок, при выполнении которых равенство MU1/P1=MU2/P2 будет необходимым и достаточным условием оптимума.
Например, такой:
1) кривые безразличия дифференцируемы и выпуклы (вниз);
2) в оптимуме потребление обоих товаров положительно.
Потреблять жвачку во втором случае (да-да, и есть ее ровно 333 единицы) имеет смысл только если $k<\frac{e^{11,1}}{12,1}=5468,69092$.
Но я подозреваю что k таким большим итак не бывает =)
Буду очень благодарен)