Всерос 2007

Задача 6. (16 баллов)
В двух странах с одинаковым ВВП на душу населения коэффициенты Джини отличаются на единицу. Государство с менее равномерным распределением доходов – тоталитарное и милитаризованное – решило развязать войну со своим более демократичным соседом. Однако, несмотря на значительные расходы (на кампанию было потрачено около 75% ВВП), агрессор потерпел явную неудачу. В ходе кровопролитных боев погибло 60% населения нападающей страны. Для сравнения, демократическое государство потратило на оборону только 25% ВВП, потеряв 20% населения. В итоге страны решили заключить мирный договор и образовать союзное государство. Оказалось, что коэффициент Джини в объединенном государстве равен 0,5. Каков был бы коэффициент Джини, если бы страны решили объединиться до войны?

Решение и ответ

Коэффициенты Джини отличаются на 1 один из них равен 0 (в демократической стране), а другой – 1 (в тоталитарной).
Обозначим демократическую страну «Д», а тоталитарную – «Т», Y – ВВП, P- численность населения.
Т.к ВВП на душу населения до войны в обеих странах равны, то имеем
После войны

Отсюда,

Обозначим
Тогда
Поскольку в одной из стран распределение дохода абсолютно равномерно, а в другой абсолютно неравномерно, то совокупная кривая Лоренца имеет следующий вид:

Координаты точки А точки B -
Тогда коэффициент Джини равен .
Учитывая то, что , имеем:

Тогда
До войны страны имели одинаковый ВВП и одинаковую численность населения!
Следовательно, совокупная кривая Лоренца при объединении до войны проходила бы через точки (0;0), (0,5;0), (1;0,5), (1;1) и совокупный коэффициент Джини был бы равен 0,75.

Ребят, кто все решение понимает, можете вкратце объяснить часть решения после составления отношений ввп и населения после войны (имею ввиду построение кривой Лоренца и нахождение координат точек)? я немного не понимаю логику: как построили эту кривую и как нашли координаты точек?

↑

Тимур Аббясов, 07.4.2010 в 13:17. (ссылка)

если напишешь вопрос в теме, которую Лиза тебе указала, то кто-нибудь из авторов скорее ответит

Усова Лиза, 07.4.2010 в 14:18. (ссылка)

слушайте, а я немного не так решала. не заморачиваясь на координаты точек. через квадратное уравнение. кому интересно - могу попозже решение кинуть.

↑

Вазген Бадалян, 08.4.2010 в 11:21. (ссылка)

делись=)

Усова Лиза, 08.4.2010 в 15:19. (ссылка)

I) пропускаю, там доказательство почему G страны А=1 а страны В=0
II) Страна А развязала войну. Результаты:
для страны А:

$\begin{align*} \\Y^A_2=0,25Y^A_1\\ P^A_2=0,4P^A_1 \end{align*}$

для страны В:

$\begin{align*} \\Y^B_2=0,75Y^B_1 \\ P^B_2=0,8P^B_1 \end{align*}$

тогда

$\frac{Y^A_2}{P^A_2}=\frac{0,25Y^A_1}{0,4P^A_1} =0,625\frac{Y^A_1}{P^A_1}$

, тоесть ВВП на душу населения в стране А уменьшилось на 37,5%
а в стране В:

$\frac{Y^B_2}{P^B_2}=\frac{0,75Y^B_1}{0,8P^B_1} =0,9375\frac{Y^B_1}{P^B_1}$

, тоесть ВВП на душу населения в стране В уменьшилось на 6,25%

III) Произошло объединение и

$G_A_B=\frac{S_K_L_M_N}{S_K_L_C} =0,5$

значит

$2*S_K_L_M_N=S_K_L_C$

$S_K_L_M_N=0,5*0,4P^A*0,75Y^B+0,5*0,25Y^A*(0,4P^A+0,8P^B)$

$S_K_L_C=0,5*(0,4P^A+0,8P^B)(0,75Y^B+0,25Y^A)$

еще нам известно что

$\frac{Y^A}{P^A} =\frac{Y^B}{P^B}$

или

$\frac{P^B}{P^A} =\frac{Y^B}{Y^A} \rightarrow P^B*Y^A=P^A*Y^B$

$2*[0,5*0,4P^A*0,75Y^B+0,5*0,25Y^A*(0,4P^A+0,8P^B)]=0,5*(0,4P^A+0,8P^B)(0,75Y^B+0,25Y^A)$

в итоге долгих преобразований получили:

$0,1Y^AP^A+0,3P^AY^B+0,2P^BY^A-0,6P^BY^B=0$

, мы помним что

$P^B*Y^A=P^A*Y^B$

и подставляем в формулу:

$0,3P^AY^B=0,3Y^AP^B$

получаем:

$0,1Y^AP^A+0,5Y^AP^B-0,6P^BY^B=0$

и делим все это выражение на

$P^BY^B\ne 0$

$0,1\frac{Y^AP^A}{Y^BP^B}+0,5\frac{Y^A}{Y^B} -0,6=0$

а мы знаем что

$\frac{P^A}{P^B}=\frac{Y^A}{Y^B}$

и получаем:

$0,1(\frac{Y^A}{Y^B})^2+0,5\frac{Y^A}{Y^B} -0,6=0$

Пусть

$\frac{Y^A}{Y^B} =t$

, тогда

$0,1t^2+0,5t-0,6=0$

$D=0,49=(0,7)^2$

$t_1=1\Leftrightarrow t_2=-6$

, но так как

$\frac{Y^A}{Y^B} =t$

, а дробь отрицательна только если числитель и знаменатель имеют противополжный знак, то в данном случае t=-6 противоречит условиям задачи, значит

$Y^A=Y^B$

и следовательно

$P^A=P^B$

Значит если бы страны объединились до войны, то

Найдем

$G=\frac{S_A_B_O_T}{S_A_B_C} =\frac{0,5*0,5*0,5+0,5*0,5*1}{0,5*1*1} =\frac{0,375}{0,5}=0,75$

был бы коэфициент Джини, если бы страны захотели объединиться до войны.

Что-то получилось оч объемно, не знаю почему... как-то так)

↑

Вазген Бадалян, 08.4.2010 в 17:07. (ссылка)

подскажи: в основе построения первого графика лежит соображение о том, что даже после войны в 1 стране распределение абсолютно неравномерно, а в др абсолютно равномерно?

↑

Усова Лиза, 08.4.2010 в 17:08. (ссылка)

да

↑

Вазген Бадалян, 08.4.2010 в 17:19. (ссылка)

спасибо тебе огромное, тут все понятно в решении. Долго сюда вбивала?=)

↑

Усова Лиза, 08.4.2010 в 17:22. (ссылка)

не за что)
нет, я просто решала эту задачу уже с помощью похожей программы. просто скопировала решение и все - повозится пришлось только с графиками.
Помоги мне решить вот эту задачу, пожалста
http://iloveeconomics.ru/zadachi/z489 =))