Сложение кривых Лоренца

В двух странах с одинаковым ВВП на душу населения коэффициенты Джини отличаются на единицу. Государство с менее равномерным распределением доходов – тоталитарное и милитаризованное – решило развязать войну со своим более демократичным соседом. Однако, несмотря на значительные расходы (на кампанию было потрачено около $75\%$ ВВП), агрессор потерпел явную неудачу. В ходе кровопролитных боев погибло $60\%$ населения нападающей страны. Для сравнения, демократическое государство потратило на оборону только $25\%$ ВВП, пожертвовав жизнями $20\%$ населения. В итоге страны решили заключить мирный договор и образовать союзное государство. Оказалось, что коэффициент Джини в объединенном государстве равен $0,5$ . Каков был бы коэффициент Джини, если бы страны решили объединиться до войны?

Решение и ответ

Коэффициенты Джини отличаются на $1\Rightarrow$ один из них равен $0$ (в демократической стране), а другой – $1$ (в тоталитарной).

Обозначим демократическую страну «D», а тоталитарную – «T», $Y$ – ВВП, $P$ – численность населения, момент до войны – «0», момент после войны – «1».

Тогда

$Y_1^D = 0,75Y_0^D$ ; $P_1^D = 0,8P_0^D$ .

$Y_1^T = 0,25Y_0^T$ ; $P_1^T = 0,4P_0^T$ .
Отсюда
$\frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T }} = 3\frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }}$ ; $\frac{{P_1^D }}{{P_1^T }} = 2\frac{{P_0^D }}{{P_0^T }}$ .
Но в силу равенства ВВП на душу населения до войны $\frac{{Y_0^D }}{{P_0^D }} = \frac{{Y_0^T }}{{P_0^T }} \Rightarrow \frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }} = \frac{{P_0^D }}{{P_0^T }}$ .

Значит, $\frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T }} = 3\frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }} = 3\frac{{P_0^D }}{{P_0^T }} = 1,5\frac{{P_1^D }}{{P_1^T }}$ .
Обозначим $\frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T }} = x,{\rm{ }}\frac{{P_1^D }}{{P_1^T }} = y$ . Тогда $x = 1,5y$ .
Поймем, как будет выглядеть кривая Лоренца объединенного государства. Самые бедные в новом государстве – это жители бывшего тоталитарного государства, имеющие нулевые доходы. Их доля в населении нового государства равна $\frac{{P_1^T }}{{P_1^D + P_1^T }} = \frac{1}{{y + 1}}$ , поэтому на отрезке $[0;\frac{1}{{y + 1}}]$ кривая Лоренца нового государства будет совпадать с осью абсцисс. «Средний класс» в новом государстве будут составлять бывшие жители демократического государства. Вместе с бедными они будут составлять почти все население нового государства, а суммарная доля доходов этих групп населения в общем ВВП равна $0 + \frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T + Y_1^D }} = \frac{x}{{x + 1}}$ . Кроме того, внутри среднего класса распределение доходов абсолютно равномерно, поэтому следующий участок общей кривой Лоренца будет отрезком прямой с концами в точках $A\left({\frac{1}{{y + 1}};0} \right)$ и $B\left({1;\frac{x}{{x + 1}}} \right)$ . И, наконец, соединяя точку $B$ с точкой $C(1;1)$ , получаем отрезок общей кривой Лоренца, «ответственный» за богатых, то есть за ту самую крайне малочисленную группу населения тоталитарной страны, располагавшую всем ее ВВП. В итоге общая кривая Лоренца имеет вид:

Тогда коэффициент Джини равен $\frac{{S_{OABC} }}{{S_{OCD} }} = 1 - \frac{{S_{ABD} }}{{S_{OCD} }} = 1 - \frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{y}{{y + 1}} = \frac{1}{2}$ .
Учитывая то, что $x = 1,5y$ , имеем:
$\begin{array}{l} \frac{{1,5y^2 }}{{(1,5y + 1)(y + 1)}} = \frac{1}{2} \\ 3y^2 - 5y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 = \frac{{P_1^D }}{{P_1^T }} \\ \end{array}$
Значит, $\frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }} = \frac{{P_0^D }}{{P_0^T }} = \frac{2}{2} = 1$ .
Получается, что до войны страны имели одинаковый ВВП и одинаковую численность населения!
Если бы страны объединились до войны, то общая кривая Лоренца имела бы качественно такой же вид, как и в случае объединения после войны. Следуя описанной выше логике построения этой кривой, нетрудно установить, что совокупная кривая Лоренца до войны проходила бы через точки $(0;0),{\rm{ }}(0;0,5),{\rm{ }}(1;0,5),{\rm{ }}(1;1)$ , и совокупный коэффициент Джини был бы равен $0,75$ .

Ответ:

$0,75$ .

Алексей, поясните мне пожалуйста, зачем нужно было выводить отношение $\frac{P^D_1}{P^T_1}$ и $\frac{Y^D_1}{Y^T_1}$ ?
я понимаю откуда оно получилось, но мне оно не кажется столь очевидным. В чем его смысл?