P=MR

P(Q) – обратная функция спроса на продукцию монополиста. В интервале (0;100) эта функция гладкая и строго убывающая. (Гладкой, или непрерывно дифференцируемой, называется функция, имеющая не абы какую, а непрерывную производную, то есть производную, которая является непрерывной функцией). Известно, что P(50)=MR(50). Предельные издержки равны c при любом объёме выпуска.
Докажите, что в интервале (0;100) существует Q, которое не может быть оптимальным ни при каком значении c.

Решение и ответ

Решение 1 (Алексей Суздальцев)
Докажем, что, каковы ни были бы $MC(Q)=c=const$ , точка $Q=50$ не может быть оптимумом.
Предположим противное: допустим, $Q=50$ оптимальна. Но тогда $MR(50)=MC(50)=c$ .
Почему?

Но по условию $P(50)=MR(50)$ , и значит, $P(50)=c$ . Поскольку у нас $MC=const$ , то $AVC=const=MC=с$ , и значит, $P(50)=AVC(50)$ , то есть $\pi(50)=(P(50)-AVC(50))\cdot50-FC=0-FC=-FC$ .

Теперь предъявим точку, в которой прибыль больше $(-FC)$ . Тем самым мы придем к противоречию с тем, что $Q=50$ оптимальна.

Какую же точку предъявить?

Решение 2 (Григорий Хацевич)

Если MR в какой-то точке интервала (0,100) строго возрастает, то при постоянных MC эта точка не может быть оптимумом: даже если в ней MR=MC, то мы сможем увеличить прибыль – сдвинувшись чуть-чуть в любом направлении.
Осталось доказать, что такая точка существует.
Рассмотрим вспомогательную функцию спроса $P_2(Q)=P(Q)-P(50)$ , определённую на промежутке (0;50]. Мы просто опустили старый спрос настолько, чтобы при Q=50 он пришёл в ноль. Заметим, что $MR_2(Q)=MR(Q)-P(50)$ , т.е. он отличается от старого на константу (на ту же, что и спрос, но здесь нам это не важно).
Докажем, что существует точка, в которой $MR_2$ строго возрастает. Её и предъявим в ответ.

Показать step 2

Ну вот я и думаю, p'=0 не удовлетворяет условию убывания спроса хотя бы
Еще крайний случай когда при пересечении оси Q спрос вертикален, т.е. предельная выручка равна нулю, цена равна нулю. Ну это чувствую тоже не в тему.

↑

Евгений Дрынкин, 24.3.2010 в 19:19. (ссылка)

пора раскачать свое мышление :) не стоит догм, нулевая производная, например, есть у такой монотонно возрастающей функции, как x^3

↑

Тимур Аббясов, 24.3.2010 в 19:27. (ссылка)

А это считается строгим убыванием? - подумав скажу да, но почему-то на стадии зародыша мой мозг блокировал такой расклад, тогда можно взять функцию sin(x)-x+100, у неё много раз будет производная равна нулю

↑

Евгений Дрынкин, 24.3.2010 в 19:27. (ссылка)

строгое убывание, это значит, что существует окрестность, в которой справа значения меньше, а слева больше

↑

Тимур Аббясов, 24.3.2010 в 19:40. (ссылка)

Вот, нашел функцию спроса, кажется она удовлетворяет условию $P=100\pi+sin(\pi Q)-\pi Q$
$P(100)=0$
$MR(50)=P(50)$

↑

Евгений Дрынкин, 24.3.2010 в 19:49. (ссылка)

ок, а в задаче что спрашивают?))

↑

Тимур Аббясов, 24.3.2010 в 19:53. (ссылка)

Я думал это упростит понимание задачи, но, как оказалось на таком примере это не очень то просто, хотя можно предположить, что при любом целом Q происходит нечто невообразимое и в данной точке не может быть оптимум.Нужно еще подумать)

↑

Дан Лифшиц, 24.3.2010 в 20:03. (ссылка)

Мне кажется, достаточно наглядным это становится если (внимание: банальность) рассмотреть графически площади под и над MR и MC.

↑

Тимур Аббясов, 24.3.2010 в 20:10. (ссылка)

Да, ты прав, это наглядно, хотя немного странный график. Но это только на примере, теперь в целом нужно сообразить

Тимур Аббясов, 24.3.2010 в 20:23. (ссылка)

Хм... может быть так
если $P(50)=MR(50)$ значит в окрестности точки 50, слева MR возрастает, справа MR убывает. Поэтому если $c<MR(50)$ то выгодно увеличить пр-во, $с>MR(50)$ - понятно, что это экономически нецелесообразно, $с=MR(50)$ , тога переход в эту точку нецелесообразен, т.к. слева в окрестности $MR<c$ , а сама данная точка не принесет дополнительных выгод.

↑

Дан Лифшиц, 24.3.2010 в 20:36. (ссылка)

Я примерно к такому же анализу пришёл в конце концов.
Мне вот только одна вещь была непонятна: как должна вся эта картинка выглядеть, ведь MR получается не монотонной, поэтому тут будет что - то вроде "МС напоминает горный пейзаж", только со стороны MR.

↑

Тимур Аббясов, 24.3.2010 в 20:45. (ссылка)

Построй во FlatGraphe или Wolfram, поглядишь на картинку.)

↑

Дан Лифшиц, 24.3.2010 в 20:50. (ссылка)

Уже строил.
Я имею ввиду, что при каждом c будет по несколько пересечений.

↑

Евгений Дрынкин, 24.3.2010 в 20:53. (ссылка)

так и должно быть, поэтому оптимальность части точек исключается))

↑

Дан Лифшиц, 24.3.2010 в 20:58. (ссылка)

Ну я лично так и решил) Потому что это и спрашивают)

Евгений Дрынкин, 24.3.2010 в 20:27. (ссылка)

ну похоже на правду

Дмитрий Сорокин, 24.3.2010 в 21:30. (ссылка)

Черт, Гриша - негодяй :-) я так много раз обсасывал идею с равенством цены и предельной выручки, но все задачи, которые я получал, были тупыми. Так что нет, Гриша красавец, наоборот. :-)

↑

Сурен Аванян, 24.3.2010 в 22:07. (ссылка)

))

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 00:15. (ссылка)

Итак, если MR строго убывает в интервале (0,1), то любая точка может быть оптимумом при некотором c. Если MR где-то возрастает, то не любая. Осталось доказать, что в данной задаче MR где-то возрастает.

↑

Тимур Аббясов, 25.3.2010 в 00:18. (ссылка)

http://iloveeconomics.ru/zadachi/z455#comment-5049 - это не то?

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 00:20. (ссылка)

ну ты просто сформулировал. доказательство-то где?

↑

Тимур Аббясов, 25.3.2010 в 00:24. (ссылка)

Ну, это вроде как объяснение того, что точка 50 не может быть оптимумом, или вопрос в том почему в окрестности слева MR возрастает? Но ведь если оно убывает, то раз в точке они равны, то получается, что слева MR>P, но это невозможно, значит слева возрастает? - чересчур интуитивно конечно, но может так?

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 00:34. (ссылка)

блин, ну убывать же можно по-разному. представь картинку: и спрос, и MR убывают, MR всё время ниже P, кроме одной точки, в которой они касаются, имея нулевую производную

↑

Тимур Аббясов, 25.3.2010 в 00:41. (ссылка)

Да, я уже сам понял.)Может то что MR и P исходят из одной точки $(0;P_0)$ внесет недостающий смысл? - хотя нет, подумаю еще

↑

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 00:36. (ссылка)

Гриш, извращение требовать от школьников применение такого анализа, нормально работать с окрестностями учат только в универе, да и у них нет, скорее всего, достаточного аппарата "необходимости-достаточности"
Извини за резкость.

PS: задача супер!

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 00:44. (ссылка)

да ладно, тут есть простое, интуитивное решение. А специально для таких, как ты, я подписал в условии, что спрос не просто дифференцируемый, а непрерывно дифференцируемый (приличный школьник, наверное, не видел ненепрерывно дифференцируемых функций). Ну, и оценку поднял с 6 до 8:)

↑

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 01:44. (ссылка)

лично я могу доказать только приняв предпосылку о ненулевой второй производной, пардон))) где-т не догоняю)

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 02:02. (ссылка)

А я наоборот что-то не смог придумать доказательство с формулами. Будет интересно почитать твоё. У меня совсем без формул.

↑

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 02:30. (ссылка)

появилась идея связанная с выпуклостью. неравенство таково: TR < TR(линейной), где линейная - функция, соединяющая точку (50;р(50)) с точкой (Q,p). неравенство, думаю очевидно. меня вырубает, так что попробую довести сегодня. если получится, то это будет общий вид. Если кому интересна идея, можете попробовать покрутить и выложить, если чего выйдет хорошего.

↑

Григорий Хацевич, 27.3.2010 в 02:46. (ссылка)

После Лёшиного решения опустил свою оценку обратно до 6:)

↑

Дан Лифшиц, 25.3.2010 в 08:38. (ссылка)

Если MR(50) = P(50), хотя мы знаем, что средняя величина интуитивно больше чем маржинальная, то на каком - то участке MR возрастает, либо MR начинается по оси P гораздо выше, чем Pmax и всё время убывает. Ну это как - то на пальцах, хотя второе, мне кажется, неправда.

↑

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 10:10. (ссылка)

мне вот кажется, что из соотношения MR=p+p'*Q, вытекает, что они из одной точки выходят :)

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 13:00. (ссылка)

Действительно, по определению $MR(0)=\lim\limits_{Q\to 0}\frac{TR(Q)-TR(0)}{Q-0}=\lim\limits_{Q\to 0}\frac{TR(Q)}{Q}=\lim\limits_{Q\to 0}P(Q)$ . Если последний предел существует (например, равен конечному числу), то MR(0) равен ему. То есть "первую единицу" мы продадим по этой цене. Но при этом вовсе не факт, то MR будет непрерывна в нуле, то есть что $MR(0)=\lim\limits_{Q\to 0}MR(Q)$ . Если это равенство не выполняется, то фразу о том, что MR и P выходят из одной точки, придётся понимать в каком-то более слабом смысле: ведь мы не сможем нарисовать MR, поставив карандаш в MR(0) и ведя его до какой-нибудь другой точки по графику MR.
Пусть $P'(Q)$ существует и даже конечна в любой точке интервала (0; что-нибудь). Тогда мы можем записать, что для любого Q из этого интервала $MR(Q)=P(Q)+P'(Q)Q$ . Если $P'(Q)$ ограничена на этом интервале (есть число такое, что $|P'(Q)|$ всегда меньше его), то из предыдущего равенства видно, что $\lim\limits_{Q\to 0}MR(Q)= \lim\limits_{Q\to 0}P(Q)$ , и поэтому $=MR(0)$ . А вот если не ограничена, то можно построить такую функцию спроса, что $\lim\limits_{Q\to 0}MR(Q)$ не будет существовать.

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 13:03. (ссылка)

Даня, ну а ты совсем глупости какие-то написал:)

↑

Дан Лифшиц, 25.3.2010 в 13:58. (ссылка)

Я просто думал, что, может быть, для каких - нибудь случаев спроса MR может начинаться выше цены.
Ну смотри, если они начинаются из одной точки по оси цен, и мы знаем, что спрос постоянно убывает, а MR убывает сильнее, то на каком - то участке MR должен возрастать. Что - то такое я имел ввиду.

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 14:16. (ссылка)

MR не может быть больше P, т.к. $MR(Q)=P(Q)+P'(Q)Q$ , и второе слагаемое неположительно.
Пусть две функции выходят из одной точки, и первая начинает убывать круче второй. Тем не менее они могут коснуться в дальнейшем, не возрастая. Для этого необходимо, чтобы первая где-то убывала положе, чем вторая, но не необходимо, чтобы она возрастала. Ты же можешь нарисовать такую картинку?

↑

Дан Лифшиц, 25.3.2010 в 14:18. (ссылка)

Согласен, из неверных идей исхожу.
Могу =)

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 21:09. (ссылка)

я сделал это! надеюсь, правильно!!! прошу посмотреть доказательство и оценить его верность. под словом окрестность я везде буду понимать левая полуокрестность.
поскольку функция непрерывно дифференцируема и ее производная в Q=50 равна 0, то существует окрестность U, в которой производная возрастает, тогда надграфик - выпуклое множество. в этой окрестности верно:
$MR(Q)<MR_{linear}(Q)$ факт очевидный, так как $MR=\frac{{\Delta}TR}{{\Delta}Q}$ , но при одном и том же ${\Delta}Q$ ${\Delta}TR_{linear}<{\Delta}TR$ , тут и дальше linear приписывается к прямой, соединяющей точку (P,Q) и (P(50),50). Далее $MR_linera=p_0-2*\frac{p-p(50)}{50-Q}Q$ $p_0=p+\frac{p-p(50)}{50-Q}Q$ подставим в MR: $MR_linear=p-\frac{p-p(50)}{50-Q}Q$ рассмотрим остаток $-\frac{p-p(50)}{50-Q}Q=\frac{p(50)-p}{50-Q}Q$ в некоторой окрестности V по определению производной, $\frac{p(50)-p}{50-Q}=p'(50)+o(1)=o(1)$ , учитывая, что функция строго убывающая, о(1)<0, тогда $-\frac{p-p(50)}{50-Q}Q<0$ , то есть $MR_linear<p$ . далее, возьмем пересечение окрестностей U и V, в нем выполнены сразу 2 условия: $MR<MR_linear$ и $MR_linear<p$ , то есть MR < p. тогда из непрерывности производной, она будет возрастать в некоторой окрестности точки 50, фуф!
что происходит справа, очевидно MR < p < p(50)=MR(50), то есть производная также убывает. вот и все, как дальше использовать сей факт уже было сказано))))

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 22:17. (ссылка)

"поскольку функция [P(Q)] непрерывно дифференцируема и ее производная в Q=50 равна 0, то существует [левая полу]окрестность [точки Q=50], в которой производная [функции P(Q)] возрастает". Это утверждение неверное. Всех призываю получить удовольствие, построив контрпример.

↑

Тимур Аббясов, 25.3.2010 в 22:28. (ссылка)

т.е. опровергнуть тот факт что слева функция где-нибудь да будет выпукла вниз $(P'' > 0)$ ?

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 22:33. (ссылка)

опровергнуть тот факт, что для любой такой функции существует интервал (a,50), в каждой точке которого P' возрастает

↑

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 22:47. (ссылка)

производная: $x*sin{\frac{1}{50-x}}+2(x-50)$ функция - интеграл от нее. ну ещё производную в 0 доопределим нулем

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 22:37. (ссылка)

ну да, согласен, косякнул, нужна монотонность производной в окрестности, иначе можем, например "зажать" синус 1/(Q-50), между х и 3х.
мм, если добавить предпосылку о монотонности производной в окрестности, еще косяки есть?

↑

Григорий Хацевич, 25.3.2010 в 22:56. (ссылка)

Дальше, признаться, я почти ничего не понимаю в твоём решении. Предлагаю структурировать его, выделить основные этапы.
"в некоторой левой полуокрестности точки 50 MR(Q)< P(Q). Тогда из непрерывности производной следует, что она будет возрастать в некоторой левой полуокрестности точки 50" - я тебя правильно понял? Тогда объясни этот момент поподробнее: почему отсюда следует, что производная возрастает?

↑

Евгений Дрынкин, 25.3.2010 в 23:09. (ссылка)

1) показываем, что надграфик - выпуклое множество.

"поскольку функция непрерывно дифференцируема и ее производная в Q=50 равна 0, то существует окрестность U, в которой производная возрастает, тогда надграфик - выпуклое множество." *при условии монотонности производной в окрестности

2)показываем, что для линейной функции, проходящей через выбранную точку из окрестности и точку (p,50), MR больше, чем для нашей.

"в этой окрестности верно:
$MR(Q)<MR_{linear}(Q)$ факт очевидный, так как $MR=\frac{{\Delta}TR}{{\Delta}Q}$ , но при одном и том же ${\Delta}Q$ ${\Delta}TR_{linear}<{\Delta}TR$ " *для этого достаточно учесть, что спрос - выпуклый, то есть p(линейной)>p, для любой q, принадлежащей отрезку от выбранной точки, до (p,50).

3) показываем, что даже "линейный" MR (разумеется, для каждой точки из окрестности это будет своя прямая) меньше р для какой-то окрестности.

\" $MR_linear=p_0-2*\frac{p-p(50)}{50-Q}Q$ $p_0=p+\frac{p-p(50)}{50-Q}Q$ подставим в MR: $MR_linear=p-\frac{p-p(50)}{50-Q}Q$ рассмотрим остаток $-\frac{p-p(50)}{50-Q}Q=\frac{p(50)-p}{50-Q}Q$ в некоторой окрестности V по определению производной, $\frac{p(50)-p}{50-Q}=p'(50)+o(1)=o(1)$ , учитывая, что функция строго убывающая, о(1)<0, тогда $-\frac{p-p(50)}{50-Q}Q<0$ , то есть $MR_linear<p$ ."

4) цепочка неравенств, пересечение окрестностей, дело техники, ура!

"возьмем пересечение окрестностей U и V, в нем выполнены сразу 2 условия: $MR<MR_linear$ и $MR_linear<p$ , то есть MR < p." *все из той же монотонности, нужно ещё пересечь с окрестностью, в которой у нас производная монотонна.

5) смотрим правую полуокрестность

"очевидно MR < p < p(50)=MR(50), то есть производная также убывает."

Темы

производитель и рынки, эластичность, микроэкономика, монополия

Автор задачи

Григорий Хацевич

Добавлено

24.03.2010 12:21
(Григорий Хацевич)

Обновлено: 27.03.2010 10:41

Версия для печати

49 комментариев

P=MR

P=MR

Комментарии

Темы

Автор задачи

Добавлено