Геометрия рентабельности
Геометрия рентабельности
Однажды Старый экономист, перебирая старые вырезки из журналов, нашел среди них нечто, что показалось ему странным. Чтобы разобраться, что же он всё-таки нашел, он решил обратиться к наивному Юному экономисту.
Предметом обсуждения был следующий график:
С обратной стороны было указано, что 
- рентабельность некоторой фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, и имеющей строго возрастающие по объему выпуска предельные издержки.В процессе обсуждения возник резонный вопрос: что же особенного в точке 
?Вооружившись линейкой без делений Юный экономист, что-то нарисовав, прищурился и воскликнул : "Так ведь это же оптимум!"-"Из этого графика оптимум не найти, это я точно знаю" - сухо ответил Старый Экономист.
Кто же из экономистов прав и почему? Обоснуйте свою точку зрения.
Совет:
Внимательно прочитайте темы, к которым относится задача. Для достижения верного ответа практически необходимо сначала доказать некоторую лемму, связанную с функцией рентабельности в точке оптимума, а лишь затем найти графическое подтверждение своему предположению, аккуратно выполнив все построения.
+Бонус.Попробуйте придумать экономическую интерпретацию указанной рентабельности при нулевом выпуске.
Версия для печати
Поделюсь своими мыслями)
Эластичность рентабельности в точке maxП Отрицательная величина , отсюда следует , что точка оптимума на графике рентабельности должна лежать на убывающем участке графика рентабельности. Т.е +1 в пользу Юного экономиста.
Отлично!Ты мыслишь в хорошем направлении!Разговор на ДОД не прошел даром:)
Кому не понятно почему так, предлагаю сначала доказать это утверждение.
Хотя это еще не лемма которую я хочу из вас выбить, она является более "фундаментальным" чтоли утверждением, более конкретным уж точно.
P.S( Про ДОД) Я припоминал, что там что-то с эластичность ,но с какой именно не помнил =)
Наша цель не абстрактное неравенство, а хитрое равенство:)
Да и у тебя не возникло вопроса для чего единица обозначена, есть в этом какая-то романтика?
Хорошо сказал)
Единица, думаю для чего-то она дана, ну так как Юный пользовался линейкой без размерности то по единице он оринтировался))
Я сейчас думаю, как-то сюда связать максимальное значение рентабельности.
Экстремум рентабельности тут не при чем, если честно:)а романтика то всё таки есть.
Кажется додумал, E=TR/TC а рентабельность TR/TC -1 .Вот зачем единица дана. Сейчас доведу до конца
Интересно, как быстро ты справишься:)
Завтракать тоже необходимо)
У меня всё сводится к тому , что нужно сравнить рентабельность и её эластичность. Но как найти эластичность в точке M и вообще стоит ли её находить ставит меня в тупик.
Ищи романтику:)ты на верном пути.Область поиска ты определил верно.
Теперь нужно сделать микрооткрытие об эластичности гладкой функции в некоторой точке.
Сурен, чего отчаялся, ты самое сложное уже сделал - почти распознал что и с чем нужно связать.
Меня заклинило с этой эластичностью, я не понимаю как её считать =)На простом клинит и это плохо.
Возьми через тангенсы крутани, выйдешь на отрезки.
E=3 , а R=2 , это примерно так как параллельные прямые не совсем параллельные у меня в построении)
Сурен, ты недооцениваешь значение единицы, и тем более плохо задумываешься над тем, почему находится она там, где она есть.
Попробуй выразить рентабельность через эластичности каких-либо функций.
Числовое значение эластичностей тут не столь важно, доказательство леммы будет визуальным, поэтому предлагаю перестать сидеть с линеечкой)
))
Сурен, ну хорошо, из твоих чисел можно выдвинуть предположение.
И оно будет верным, если ты его верно выдвинешь) другое дело как доказать именно такую форму леммы, которую я не совсем предполагал.
Тимур,мои мысли исякли.
Хорошо, дабы задача не застаивалась, потому что почти никто за нее и браться не хочет, докажи что эластичность касательной к функции в точке равна эластичности самой функции.
Затем все таки подумай как связать эластичность чего-то и рентабельность.
Тимур, это я уже сделал, а ты думаешь как я нашёл E , оно будет равняться 3 ну или выпуску соответствующей точке M. Потом необходимо на оси R от рентабельности в точке M отметить ещё одну единицу ( это будет эластичность рентабельности) и сравнить образовавшийся отрезок на оси R с отрезком на оси Q( выпуск в точке M). Если они равны, а они равны то Юный экономист прав.
P.S Это должно быть верно. Я просто вычислениями всё делал, ведь в задаче не сказано как решать, поэтому мой ответ Юный экономист прав таким и остаётся. =)
Твои рассуждения про расстояния я не понял, но во всяком случае сравнение абсолюных величин никак не является основой для доказательства, к тому же сомневаюсь, что эти отрезки равны.
Суть не в том чтобы ответить на вопрос а в том, как это доказать, если ты внимательно читал, то делений на линейке не было, поэтому твое решения я не могу засчитать.
Да и лемма то какая? она выглядит как формула
За сегодня я вымотался,завтра напишу
Тимур, у тебя небольшой косяк: в нуле рентабельность всегда равна (-1) (при
), а по графику она у тебя вообще положительна.
Видимо, у тебя
. Но тогда сама рентабельность в нуле не очень определена.
спасибо Алексей,этот косяк я заметил уже давно и поэтому есть бонус, а определена она или нет я не писал, интерпретаций может быть много, окей?
Как сама задача?
в Гришином стиле)
Это приятно!
Я померил линейкой: эластичность рентабельности в точке M равна -4, а значение рентабельности в точке M примерно 1,9, а не 3=4-1, как должно было бы быть, если бы это была точка оптимума. Никто не прав?
Нет,Григорий вы всю малину портите) так и не должно быть, должно быть немного другое соотношение, если я правильно понял, что ты имеешь в виду. Перейдем на почту?
При составлении задачи я опирался на точные расчеты и функции, поэтому точку M я не графически нашел, а через банальный оптимум.
Прислал комментарий по решению на твой мейл на яндексе, буду благодарен, если обратишь внимание.
Мы с Тимуром разобрались. Я напутал с измерениями; должно получиться не -4, а где-то -2,9.
Но это лишь проверка решения. Само решение не требует измерений.
По поводу единицы. Так как R=P/AC-1, значит R(0)+1=P/AC(0)-1+1=P/AC(0). Т.е в точке R(0)+1 справедливо равенство P/AC(0). Ну отсюда я попытался найти AC(0), примерно нанёс на график, у нас есть ещё одна точка АС, там где рентабельность равна нулю, так как в ней выполняется равенство Р=АС. Кстати Р у меня на уровне точки М и в ней должно выполняться равенство,
P/AC=Em. Саму эластичность можно найти с помощью тангеса наклона касательной ну и значений количества и рентабельности, она у меня 2.4 (по модулю) получилась. Вообщем я зашёл в тупик, чувствую, что уносит меня не в ту сторону. Вообще возможно по данному графику примерно АС нарисовать по двум точкам? Но думаю это в решение всё равно не входит, надо что-то новенькое искатью
Андраник я выше показал к чему надо идти.)
Ну, наверное анализ крайних значений может дать какие-то выводы, но Алексей писал несколько вещей относительно этого да и к тому же найти AC(0) - невозможно, оно там не определено.
Поэтому предлагаю углубиться в анализ эластичностей и самой рентабельности. Те числа, которые нашел Сурен могут навести вас на неплохую идею, дальше я постараюсь вас верно направить.
Тимур я выше написал.Это верно?
Доказательство - не совсем, я бы не стал выдумывать задачу, где надо сидеть с рулеткой и считать.
Григорий выше написал, что решение не требует измерений. Визуальное сходство - да, но сравнить два отрезка визуально очень сложно, другое дело, параллельность или перпендикулярность.
Но вы забыли главное - сначала лемма - потом подтверждение на графике, а вы хотите наоборот.
рентабельность в точке оптимума равна эластичность общих издержек в точке оптимума минус 1
Отлично! Совсем близко) Осталось "раздуть из мухи слона" в математической манере в равенстве:
Вы меня не поняли похоже)
Поясню, что я имел в виду на примере
Чтобы решить ур-е,
Один из способов сделать его однородным, вопрос, как? Раздуйте уже из мухи слона!)Математики точно должны такой приемчик знать)
перпендикуляр не в тему?))
Нет) Тебе нужно перейти от того что ты получил к тому, что можно доказать на данном графике) Для этого нужно всего лишь хитро видоизменить правую часть равенства
ac'*q/ac?или хитрее?)
в трагоном уравнении я бы 2син разбил на сумму син и син и формулой кубов пользовался)
А я бы применил основное тригонометрическое тождество, превратив его в однородное уравнение третьей степени.Хитрее)
у меня третьей степени не получилось , зато разложилось на множители)
Даже не знаю как еще подсказать) короче если рассмотреть
как
тогда кое-что сократится и можно легко решить. В равенстве которое Леонид привел, нужно сделать похожий ход, чтобы прийти к тому, что можно изобразить.
там в итоге должно получиться что-то связанное с Q ?
там нужно всего лишь заменить единицу на что-то функциональное, подумайте что, учитывая, что это у нас совершенный конкурент.
E(TR) , tg 45o , p/p , MC/MR , MC/P , Q/Q , TR/TR , R2-(R+1)(R-1)+1 ?
лучше все равно не придумаю
Среди этих есть верный вариант) Сурен, ну теперь ты точно должен понять, что тут к чему, особенно если вспомнишь, как мы тут недавно с Димой Сорокиным "изобретали колесо" в эластичностях)
Если нужна E(TR), то ваше колесо все никак не хочет приплетаться сюда
Как рас-таки на этом колесе и можно сдвинуться с места, а замену единице ты верно подобрал!
последнее преобразование осталось, господа!)
Значит мы пришли к тому что
Перепишу так
Готово!
Ну теперь приложите все свои силы, ощутите самый сок графического доказательства!!) Геометрический смысл эластичности, и не забывайте про единицу, она тут пригодится!
Тимур TC/TR=1/R+1 .
не дай Бог из-за этого задача не решится!!!
Ничего , главное , я надеюсь , была лемма
Дефект не в задаче, а в том, что я просто минус выше забыл написать)
Моего облегчения не выразить словами)))
Извините, описался от радости что вы догадались)
Итак еще раз Лемма такова
Для доказательства достаточно взять оба выражения по модулю
Эластичность по Q считается ?
ну конечно.
Риторический вопрос, особенно если учесть что вроде как лемму кто-то из вас доказал)
естественно
да нет , я просто испугался , что получилась функция R(R) , но это ж просто равенство , а не функция
Тут всё чисто, это ни то и ни другое, это условие оптимума сов. конкурента.
Видимо теперь надо на графике показать эластичность TR/TC в точке Q соответствующий M. Это видимо будет какой-то отрезок и он будет равен R :-)
Сурен, отрезки сравнивать не надо, запомни это) я выше где-то писал что будет доказательством.
еще может
а не R+1
я подавлен своей беспомощностью(
не тут как я понимаю дело в углах,точнее в их тангенсах)
проведём отрезок из нуля в М ,тангенс угла между этим отрезком и осью выпуска нам и нужен
а второй угол не могу найти толком)
Вам нужно как минимум нарисовать R+1, благо это достаточно просто сделать. Потом эластичность через отрезки, но для этого нужно понимать как ее находить для гладкой функции, если не ошибаюсь Сурен выше подтвердил, что знает как.
линейкой R+1 нарисовать ?
Боюсь линейка сама по себе оставляет слабо заметный след на бумаге, можно конечно поднажать на нее, но всё-таки лучше использовать обыденные писчие предметы как то : ручка, карандаш и т.д.
Намекаешь на то, что это сложно? Тот участок, что тебе пригодится ты наверняка сможешь нарисовать с достаточной точностью. А в принципе и всю кривую. Подобное встречалось в каком-то из всеросов или московских олимпиад - там кривую VC надо было "поднять", так что это законный шаг.
я просто не понимаю : мне дана лишь линейка , даже без делений . Чтобы построить график R+1 , надо иметь хотя бы 2 линейки , чтобы параллельно двигать одну линейку и строить график по точкам .Что касается обыденных письменных предметов , то не знаю , как хорошо получится рисовать от руки...
Ну я тебе говорю это общепринятая практика) да и я сколько не рисовал от руки, там все равно нужен только побочный элемент, а не сам график, поэтому выходит всегда то, что нужно.
P.S. Смотри всерос 2002 года, последняя, самая баллоносная(25) задача - "на основании VC постройте TC", так там еще от аккуратности зависело то, что выйдет в итоге в других пунктах.
следует ли строить р+1 как функцию?
наверно следует,чтобы построить правую часть леммы)
ну только не p+1 , а R+1, я же выше написал, что очень даже стоит
ну R=произведению двух тангенсов(тангенса угла между лучом из начала координат Q/R+1 и тангенс угла наклона касательной к графику R+1 )
Нужно свести все к отношениям отрезков, еще раз повторю, единица снова пригодится.
бонус:может фирме сказали ,что дадут субсидию ,если она выйдет на рынок.хотя я думал,что рентабельность в 0 равна -1(-FC/FC)
Дан предложил такое объяснение (оно весьма удачное) : пусть мы производим вредный продукт, поэтому нам платят, если мы ничего не производим.
Поэтому если в этом ключе соображать, то постарайся придумать жизненную ситуацию.Твой пример слишком абстрактный.
Мы это уже обсудили выше.
Мне задачка понравилась)
Но я в одном месте подглядел в рассуждения.
О великий ум! Неужели довел геометрическое доказательство до конца? Решение в студию!
там 2 треугольника получаются ???
один лежит , а другой стоит ?
В итоге должна быть параллельность
эластичность , получается , равна tg касательной * (R0+1)/q0 ??
Во первых тангенс какого угла, к какой оси? Ну а во вторых если тангенс брать к вертикальной оси, то в этом равенстве R0+1 сократится и будет отношение двух отрезков.
я брал к горизонтальной оси ( к вертикальной оси рисунка не хватило=) ) и мне показалось что если провести перпендикуляр к касательной к графику R+1 в точке , которая лежит на г-ке R+1 над т. М , то он пересечет проекцию точки М на ось R , и тогда тангенс внутреннего угла ( с осью Q )касательной будет равен Qm .
Может , перпендикуляр и не должен был туда попадать , у меня все равно лишь линейка при себе
Дим, ты что-то через чур усложняешь или наоборот не стараешься) В общем в идеале стоит просто воспользоваться тем, что эластичность касательной в точке равна эластичности самой функции. Так и сразу на отрезки наконец выйдешь.
я этим и воспользовался , получилось , что тангенс и 1/q0 сократились и получилось , что R=R+1 , может это лишний раз подтверждает , что 1=0 и все числа равны.
Щас попробую еще как-нибудь покрутить , может , найду
Нет, ну ты что-то сомнительное делаешь.
Эластичность R+1 по Q в этой точке равна отношению (Q_m) к (A-Q_m) где A - абсцисса точки пересечения касательной к R+1 c осью Q
Тимур у меня всё также получалось ( не знаю почему Дима тормозит) , но дальше я не пошёл.
Предполагаю , что дальше так: Qm/B = 1+R0 A/C = 1+R0 ( где И отрезок параллельный Qm( который является частью отрезка исходящего из R0 и заключённого между перепендикуляром из точки M к оси Q и лучом из начала координат в точку M , а точка C это отрезок заключённый между тем же перпендикуляром и касательной в точке M . A- это отрезок который раве A-Qm - в твоём написании )) Нам надо доказать , что Qm/A=R0 Положим, что это так , тогда Qm/B -Qm/A=1 A/C -Qm/A=1 => Qm/B=A/C - а это верно. Может что-то так?
Сурен, можно проще, это точно) Ладно, хорошо скажу вам всё, что могу : Если отношение двух отрезков, положим a/b равно R0, то можно записать это как a/b=R0/1 , т.е. рассмотреть единицу как отрезок. Должен в итоге получиться треугольник в котором прямая делит стороны в одинаковом отношении, т.е. получается параллельная основанию. Осталось вам найти такой треугольник.
Ок , Тимур, мой глаз не хочет увидить этот треугольник))Разве мой ход мыслей неприемлим для решения данной задачи?) Или ты хочешь решение- романтику? :-))
Я не могу найти отрезок B по твоему описанию, заключен между лучом из 0;0 в точку M и перпендикуляром из этой точки к оси Q, но там ничего нет. Может ты имеешь в виду M2? и что такое R0, точнее где это? Да и к тому же это явно не оптимальное решение, потому что лучи строить это какой-то моветон)если можешь поясни еще раз получше свой ход мыслей, а лучше найди оптимальный способ)
свой ход мыслей я тебе поясню при встрече)А то на клавиатуре всю эмоции не передашь))Оптимальный способ я найду)
у меня пока только получилось , что :
R макс - точка пересечения касательной к гр R и оси R
Дим, издеваешься?)) Я уже написал даже, что должно получиться)
Схема простейшая, я не понимаю, что не получается. Эластичность касательной (это прямая) в точке равна отношению двух отрезков из оси Q, ну это же тривиально(!), то же самое мы всегда для спроса делаем.А ты какие-то эфемерные равенства выводишь)
да я понимаю , я это отношение тыщу раз трансформировал , кучу подобных треугольников нашел , а эффекта 0 !!!!
Так и не нужно ничего трансформировать))
Значит пусть это отношение равно a/b, геометрически оно просто выглядит на рисунке, по условию a/b = |R|, теперь займись правой частью равенства. И не забывай про единицу.))и не выходи из себя))
ОК :Там есть треугольник Q0QmaxM2 , M2 лежит на гр. (R+1) выше M
; 
=> 
b- Q0 ,
a - Qmax-Q0 ,
P - внутренний угол между касательной к (R+1) и осью Q
Тут же нет ошибки ! , что дальше делать , просто ума не приложу
Дима, остановись)))Не нужно уже больше ничего считать)) Нужно найти треугольник, в котором параллельность будет являться следствием леммы, а значит признаком оптимума.
Т.е. действия такие смотришь и говоришь: вот эти прямые явно параллельны(визуально) значит выполняется лемма, значит это оптимум.
значит я сто пудов что-то не провел , потому что все прямые здесь уже заведомо строились как параллельные
Перпендикуляры к осям параллельны конечно, но это явно не то)
еще касательные , и еще я когда строил одной линейкой с прямым уголком , я соединил нижний конец единичного отрезка с М и верхний конец с М'
И проекцию М на ось R соединил с М'
Твои построения никак не ведут к выполнению леммы.
вот и я про то же
С6 из ЕГЭ по математике плавно переходит в С4
ЭВРИКАААААААААААААААААААА
СОЕДИНЯЕМ на осях
1)Rm и Qm
2)Rm+1 и Qmax (R+1) - касательной
Прямые параллельны {if a || b then txtbox1.txt="эврика"}
Теорема Фалеса
конец .{end if}
Это только визуально , хотя вроде то , что нам и нужно ; формальнее - построить перпендикуляр к какой-нибудь одной прямой и перпендикуляр к перпендикуляру через соответствующую точку на оси . должна пересечь другую соответствующую точку
)
Я прочитал мысли Тимура на прощание)))
красавец)
Безумец, ты меня раскусил, нет нет, я знаю это Сурен всё выдал, повсюду заговорщики, вы просто не могли сметь догадаться!!!
Брависсимо, Дима)
Сурен молчал как рыба , я просто не читал последние комментарии целиком , а как прочитал целиком, меня осенило)
Да я шучу) красавец в общем!главное ответ был на поверхности, я же тебе сказал что там короткое решение)
Меня последние полтора дня терзали мысли о том , что надо от Qm куда нибудь налево вверх провести прямую , а вот куда , не доходило .Когда генератор тупых идей в моей голове перестал работать , я решил заново все прочитать
))