Обратная функция предложения

Издержки конкурентной фирмы задаются многочленом 33-й степени. Известно, что при Q=5 AVC достигает строгого локального минимума. Найдите множество всех функций f, таких что f является обратной функцией предложения данной фирмы, а отрезок [4;6] является подмножеством её области определения.

Решение и ответ

Если AVC имеет строгий локальный минимум в точке $Q_0$ , которая не является граничной точкой области определения AVC, то AVC убывает в некоторой точке $Q_1$ чуть левее $Q_0$ (здесь мы существенно пользуемся непрерывностью AVC, которая следует из условия). Докажем, что точка $Q_1$ не может быть оптимальной (с точки зрения максимизации прибыли) ни при какой цене, а значит, в этой точке не может быть определена обратная функция предложения.

Пусть $P<AVC(Q_1)$ . Тогда $Q_1$ не оптимальна, т. к. при $Q=0$ прибыль будет больше, чем при $Q=Q_1$ . Если же $P\ge AVC(Q_1)$ , то мы можем чуть увеличить выпуск, что увеличит прибыль, равную $-FC+Q\cdot (P-AVC(Q))$ , т. к. AVC убывает.

Ответ:

$\varnothing$

Исходя из того, что $Q=5$ - точка локального минимума для $AVC$ , заключаем, что существует такая очень маленькая окрестность точки $Q=5$ c радиусом $r$ , что $AVC(5-r)>AVC(5)$ и $AVC(5+r)>AVC(5)$ . Наша функция предложения должна быть определена всюду, при $Q \in [4,6]$ . Рассмотрим цену предложения при $Q=5$ . Очевидно, что, при $P<AVC(5), Q=5$ не может быть величиной предложения. При $P=AVC(5), P=MC$ , так как $Q=5$ - точка локального минимума, а для такой точки несложно доказать равенство $AVC=MC$ => эта точка неплохо подходит под оптимум. При $P>AVC(5)$ , пересечение с $МС$ будет достигаться при $Q>5$ (иначе $МС$ будет иметь вертикальный участок). Таким образом, если $Q=5$ принадлежит кривой предложения, то лишь в паре с ценой $P=AVC(5)$ .

Теперь рассмотрим нашу окрестность с радиусом $r$ . Если точка $Q=5-r$ принадлежит кривой предложения, то очевидно, что $P_s(5-r) \geqslant AVC(5-r)$ , иначе мы не покроем некоторую часть $VC$ и нам лучше будет покинуть отрасль. Но мы точно установили, что $AVC(5-r)>AVC(5)$ . Таким образом, мы получаем, что на некотором интервале кривая предложения убывает, чего не может быть. Отсюда я (очень робко) предполагаю, что нет таких кривых предложения.

↑

Григорий Хацевич, 17.1.2010 в 15:52. (ссылка)

Вроде всё верно. Я разместил своё решение.
Мелкие замечания по твоему:
1) Зачем тебе окрестность, если ты пользуешься лишь одной точкой 5-r?
2) Для меня фраза "покинуть отрасль" звучит как "уйти в другую отрасль", но это предполагает, что мы в долгосрочном периоде. Я бы просто написал "установить нулевой выпуск".

↑

Дмитрий Сорокин, 17.1.2010 в 16:41. (ссылка)

Если честно, удивлен, что решение верное. =) момент с невозможностью убывания кривой предложения меня смущал, но сейчас решим народную задачу и все встанет на свои места. Еще вечно лезли в голову причудливые картины МС 32 степени, и я все думал, нужно ли мне правило Р=МС.

Кстати, решая эту задачу, я обнаружил очень важное сходство между МС и VC! То, что на русской раскладке набирается как МС, на английской становится VC. Как бы пишешь на английском, потом Shift-Alt (это оператор дифференцирования) - и получаешь ответ МС. =)

↑

Григорий Хацевич, 17.1.2010 в 18:44. (ссылка)

Оператор дифференцирования - царище! В анналы! Ещё прикольнее было бы, если бы Punto Switcher менял vc на мс, но он почему-то не меняет, несмотря на то что нет английских слов, начинающихся на vc.

↑

Дмитрий Сорокин, 17.1.2010 в 20:58. (ссылка)

Да, вот тут я с тобой согласен. Очень надоедает переключать туда-сюда язык. =)

↑

Григорий Хацевич, 17.1.2010 в 21:00. (ссылка)

а я наоборот не пользуюсь автоматическим переключением. специально установил punto, чтобы проверить, переводит ли он vc в мс

↑

Дмитрий Сорокин, 17.1.2010 в 21:39. (ссылка)

Я пользуюсь, но отключил автоматическое переключение. Тычешь в Pause\break и он меняет. Просто пунто еще тем хорош, что ты можешь прямо выделять текст где угодно, копировать, а потом его транслитеровать или сменить язык. Иногда удобно, да и нажимать на шифт+альт дольше, чем на пауз-брейк.