Как живется бурундийцам (8-9)

Задача

Московская олимпиада (МОШ) — 2020

8-9 классы

микроэкономика

неравенство доходов

Средняя: 4.3 (3 оценок)

06.05.2021, 23:25 (Данила Глазков)
07.05.2021, 00:25

(1)

Polyakova Sofa

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Король Бурундии Буриндин XXVII решил исследовать, как живут его подданные. Статистическая служба Бурундии долго собирала и анализировала данные, после чего на стол главному счетоводу была положена следующая информация:

• всё население Бурундии можно поделить на несколько групп, внутри которых доходы распределяются равномерно: нищих, бедняков, середняков и богачей;
• богачей в Бурундии в полтора раза больше, чем нищих, а доход всех вместе взятых бурундийских богачей в $9$ раз больше, чем доход всех бурундийских нищих;
• середняков в Бурундии вдвое больше, чем бедняков, при этом все вместе середняки втрое богаче всех бедняков;
• если сложить число бедняков и середняков, их окажется в $9$ раз больше, чем нищих и богачей вместе взятых, при этом общий доход двух «средних» групп населения будет в $4$ раза больше, чем доход двух «крайних» групп.

(а) Определите долю каждой группы в общей численности населения Бурундии. Ответ следует дать в виде процентов.

(б) Определите долю от общего дохода населения Бурундии, которую получает каждая группа. Ответ следует дать в виде процентов.

(в) Экономисты используют разные способы для оценки распределения доходов между различными группами населения. Так, одним из способов анализа дифференциации доходов является децимальный коэффициент, показывающий, во сколько раз доходы $10\%$ наиболее богатых людей больше доходов $10\%$ наиболее бедных; аналогично, квинтильный коэффициент показывает отношение доходов $20\%$ наиболее богатых к доходам $20\%$ наиболее бедных; квартильный коэффициент $–$ отношение доходов $25\%$ наиболее богатых к доходам $25\%$ наиболее бедных. Чему будет равен коэффициент, показывающий отношение суммарного дохода $z\%$ самых богатых к суммарному доходу $z\%$ самых бедных жителей Бурундии, $z \in [10; 25]$?

Решение и ответ

Запишем систему уравнений
$$\begin{cases} (1) \quad N_{\text{богатые}} = 1,5N_{нищ} \\ (2) \quad I_{\text{богатые}} = 9I_{\text{нищ}} \\ (3) \quad N_{\text{сред}} = 2N_{\text{бед}} \\ (4) \quad I_{\text{сред}} = 3I_{\text{бед}} \\ (5) \quad N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9(N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \\ (6) \quad I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4(I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \end{cases}$$
И решая ее, получаем ответы, обозначив за $X$ число нищих и за $Y$ их доход:

а) [4 балла]

Из $(1)$ и $(3)$ выражаем числа и подставляем в $(5)$:
$N_{\text{бед}} + N_{\text{сред}} = 9(N_{\text{нищ}} + N_{\text{богатые}}) \implies 3N_{\text{бед}} = 9(x + 1,5x)$
Итого:
$N_{\text{нищ}} = x, N_{\text{бед}} = 7,5x, N_{\text{сред}} = 15x, N_{\text{богатые}} = 1,5x$
Общая численность: $25x$ $\implies$ Нищие составляют $4\%$, Бедные $–$ $30\%$, Средние $–$ $60\%$ и Богатые $–$ $6\%$.

б) [4 балла]

$I_{\text{бед}} + I_{\text{сред}} = 4(I_{\text{нищ}} + I_{\text{богатые}}) \implies 4I_{\text{бед}} = 4(y + 9y)$
Итого:
$I_{\text{нищ}} = y, I_{\text{бед}} = 10y, I_{\text{сред}} = 30y, I_{\text{богатые}} = 9y$
Общий доход: $50y$ $\implies$ Нищие составляют $2\%$, Бедные $–$ $20\%$, Средние – $60\%$ и Богатые – $18\%$

в) [17 баллов]

Заметим, что доход и числитель в знаменателе можно сократить. Поэтому коэффициент будет выражаться просто отношением процента дохода $z$ самых богатых к $z$ самых бедных.
Для расчётов удобно нарисовать кривую Лоренца для данной экономики.

Заметим, что $z \in [10; 25]$ приводит к тому, что доход нищих и богатых всегда входит в подсчет. Поэтому нам достаточно посчитать, какой доход бедных и средних входит в подсчет коэффициента.
$$coeff = \frac{0,18 + (z - 0,06) \cdot 1}{0,02 + (z - 0,04) \cdot \frac{2}{3}} = \frac{3z + 0,36}{2z - 0,02}$$

Примечание:

Критерии оценивания вынесены в файл "8-9 классы (решения, заключительный этап)".

Все задачи этой олимпиады

10-11 классы

Задача	Баллы
Как финансировать общественные блага?	25
Неравенство и экономический рост	25
Рынок труда	25
Эффект перелива	25

8-9 классы

Задача	Баллы
Как живется бурундийцам (8-9)	25
Неравенство и экономический рост	25
Производитель и дистрибьютор	25

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Все задачи этой олимпиады