Задача

В олимпиадах

Баллы

20

Темы

Сложность

8.83333
Средняя: 8.8 (6 оценок)
11.03.2016, 15:56 (Данил Фёдоровых)
13.01.2017, 06:20


(0)
По многим поисковым запросам в Интернете пользователю показываются не только «обычные», но и рекламные ссылки, связанные с запросом. Для продажи подобной контекстной рекламы поисковые сайты, такие как Яндекс или Google, используют специальный аукцион. В данной задаче вам предлагается проанализировать упрощенную модель этого аукциона.

Представим, что есть три рекламодателя — A, B и C — которые хотели бы приобрести рекламу, которая будет показываться пользователю при вводе им определенного поискового запроса (например, «олимпиады по экономике»). На странице есть две позиции, на которых могут размещаться рекламные объявления. Первая позиция находится выше, чем вторая; на первую кликает в среднем 200, а на вторую — 100 пользователей в час. Один клик приносит приносит рекламодателям в среднем $x_A$, $x_B$ и $x_C$ рублей дополнительной прибыли (без учета оплаты рекламы) соответственно.

В ходе аукциона рекламодатели делают ставки $a$, $b$ и $c$. Рекламодатель, сделавший наибольшую ставку, получает рекламу на позиции 1; рекламодатель, сделавший вторую по величине ставку, получает рекламу на позиции 2; оставшийся рекламодатель не получает ничего. При этом за каждый клик любой выигравший какую-либо позицию рекламодатель платит не свою ставку, а ставку, следующую по величине.

Пример: допустим, рекламодатели сделали ставки $a=10$, $b=4$, $c=2$. Тогда первую позицию выиграет A и получит 200 кликов в час; вторую позицию выиграет B и получит 100 кликов. При этом A заплатит 4 рубля за каждый клик, и его выигрыш составит $200\cdot(x_A-4)$; B заплатит 2 рубля за каждый клик, и его выигрыш составит $100\cdot(x_B-2)$. Выигрыш C будет равен нулю.

Назовем равновесием такой набор ставок $(a, b, c)$, при котором ни один из рекламодателей не сожалеет о сделанной ставке (иными словами, ни один участник не смог бы получить строго больший выигрыш, сделав какую-либо другую ставку при тех же самых ставках других участников). Например, если в примере выше $x_B=1$, то приведенный набор ставок $(10, 4, 2)$ не является равновесием, так как участник B получил выигрыш $-100$, а если бы он сделал ставку, равную нулю, его выигрыш составил бы $0>-100$. Исследования показывают, что ставки, которые делают реальные участники подобных аукционов, действительно приблизительно соответствуют равновесию.

а) Допустим, в примере выше $x_A=10$, $x_B=4$, $x_C=2$, так что каждый из участников делает ставку, равную своей дополнительной прибыли. Является ли набор ставок $(a, b, c)=(10, 4, 2)$ равновесием?

б) Допустим, $x_A=10$, $x_B=4$, $x_C=2$, но теперь вторая позиция приносит не 100, а 180 кликов. Является ли набор ставок $(a, b, c)=(10, 4, 2)$ равновесием? Если нет, то найдите какое-либо равновесие, в котором $a=10$ и $c=2$.

в) Допустим, некто заявил, что доход поисковика увеличится, если каждый из участников будет платить свою ставку, а не ставку, следующую по величине, ведь очевидно, что своя ставка выше. Объясните, почему эта логика неверна.