Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ — 2010

Раздел

Баллы

25

Темы

Сложность

9.4
Средняя: 9.4 (10 оценок)
06.02.2016, 15:10 (Дарья Бахарева)
23.01.2017, 01:41
Жители небольшого городка рассматривают возможность создания своего краеведческого музея. Музей может быть создан на заемные средства, при этом выплаты по процентам составят по $20 на человека год. Население города составляет 1000 человек и по своим предпочтениям разделяется на пять групп равной численности. Выгоды от музея для этих групп представлены в таблице. Предположим также, что данные относительно резервных полезностей всех горожан являются общеизвестной информацией.

Группы, однородные по своим предпочтениям
Выгода от музея, долл. в год
Первая группа
34
Вторая группа
29
Третья группа
x
Четвертая группа
18
Пятая группа
15

(а) Пусть решение о создании музея принимается путем голосования согласно правилу простого большинства. Известно, что в случае создания музея расходы на его финансирования будут поровну разделены между всеми жителями городка в виде ежегодных налоговых платежей. При каких значениях $x$ будет принято решение о создании музея?
(б) Решение (в данном случае создавать или не создавать музей) называют эффективным, если оно соответствует максимальному значению чистой выгоды общества (чистая выгода общества является разницей между совокупной выгодой всех групп и совокупными издержками). При каком значении $x$ решение, принятое простым большинством, будет эффективным?
(в) Экономический советник мэра предложил поручить создание музея местной частной компании, собственником которой является жена этого мэра. В случае ее согласия, компания должна продавать годовые абонементы на посещение музея по единой цене. Абонемент дает его обладателю право на любое количество посещений музея в течение года бесплатно. Согласится ли эта частная компания создать музей на таких условиях, если $x < 100$?
(г) Сам мэр (крепкий хозяйственник, как это у нас обычно бывает) принял решение выставить разрешение на создание музей на аукцион, разрешив, однако, победителю аукциона продавать готовые абонементы на посещение музея по разным ценам для разных граждан. При каких значениях $x$ можно ожидать, что будут желающие принять участие в аукционе? Какой максимальный доход при этом может получить бюджет города от такого аукциона?
(д) Предположим теперь, что выгоды от музея (хотя и таковы, как указано в таблице) являются частной информацией горожан, т.е. известны только им. Пусть $x=24$. Несмотря на это обстоятельство профессор Кларк, преподающий в расположенном неподалеку университете микроэкономику, утверждал, что эту информацию можно выявить в рамках следующей хитроумной процедуры:
$\rightarrow$ горожанин i сообщает информацию, возможно, ложную, $b_i$ о «своей» чистой оценке музея $v_i$ (разности между выгодой от музея и величиной 20 д.е.);
$\rightarrow$ музей создается, если $\sum_i b_i \geq 0$ (при этом с каждого горожанина взимается ежегодный взнос в сумме $20 на финансирование выплат по процентам) и музей не создается в противном случае;
$\rightarrow$ каждый горожанин, решение которого меняет вердикт общества о создании музея (назовем такого горожанина ключевым потребителем), в дополнение к взносу на покрытие выплат по процентам, $20, платит налог, который рассчитывается следующим образом:
если $\sum_i b_i \geq 0$, но $\sum_j \neq i b_j < 0$, то $t_i=-\sum_j \neq i b_j$ .
если $\sum_i b_i < 0$, но $\sum_j \neq i b_j \geq 0$, то $t_i=-\sum_j \neq i b_j$.
Если потребитель не меняет общественного решения, то он налог не платит.
Заметим, что в первом случае решение о создании музея принимается, и взнос i-го горожанина составляет $\$20+t_i$. Во втором случае решение о создании музея не принимается, но i-ый горожанин все же должен сделать взнос $t_i=-\sum_j \neq i b_j$. Эти дополнительные налоги, по уговору с профессором Кларком, составляют его гонорар за предложенную им идею, а поэтому называются налогами Кларка.
Покажите, что гонорар профессор заслужил, так как информация таким способом действительно выявляется: никто ничего не выиграет, сообщая неверную оценку, какие бы оценки не сообщали другие. И это хорошая новость для профессора – его идея работает. Плохая новость состоит в том, что он должен быть готов к тому, что часто не будет получать никакого гонорара.
(е) Рассмотрите процедуру, описанную в пункте (д), полагая $x=24$. Найдите налоги Кларка при условии, что все агенты выявляют свои оценки (сообщают истинные значения своих выгод от музея).