Правила приёма

Во многих странах абитуриенты распределяются по вузам и факультетам с помощью централизованных алгоритмов. Рассмотрим один из них.
Допустим, есть m абитуриентов и n факультетов. На факультете с номером i есть $q_{i}$ мест, суммарное количество мест на всех факультетах не меньше m. Каждый абитуриент подает для обработки компьютерной программой информацию о том, какой факультет является для него первым по предпочтительности, вторым по предпочтительности, и т. д. до последнего. Затем программа на основе этой информации определяет, на какой факультет пойдет каждый абитуриент, с помощью следующей процедуры:
Шаг 1. Каждый абитуриент рассматривается как кандидат на наилучший для себя (согласно поданным предпочтениям) факультет. Если на факультете достаточно мест, чтобы принять всех таких кандидатов, то он принимает их всех. Если мест на факультете i недостаточно, то он принимает $q_{i}$ абитуриентов из числа кандидатов согласно некоторым общеизвестным правилам, которые могут быть разными для разных факультетов. (Например, факультет может быть обязан принимать абитуриентов с наибольшим суммарным баллом ЕГЭ, при равенстве баллов обязан сравнивать абитуриентов по неким другим четко прописанным критериям и т. д.)
Последующие шаги. На каждом последующем шаге каждый абитуриент, отвергнутый на предыдущем шаге, рассматривается как кандидат на наиболее предпочтительный для себя факультет из числа факультетов, на которые он еще не был кандидатом и где еще остались места. Если на факультете достаточно оставшихся мест, чтобы принять всех таких кандидатов, то он принимает их всех. Если мест на факультете недостаточно, то он заполняет оставшиеся места согласно общеизвестным правилам.
Поскольку суммарное количество мест на всех факультетах не меньше, чем общее количество абитуриентов, на каком-то шаге все абитуриенты будут распределены по факультетам. Тогда работа программы заканчивается.
Анализируя работу этого алгоритма, экономисты заметили, что абитуриентам может быть выгодно искажать информацию о своих истинных предпочтениях. Рассмотрим эту проблему на следующем «игрушечном» примере.

В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2017
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Краудфандинг

Краудфандинг (дословный перевод –– «финансирование толпой») –– способ финансирования проектов, который приобрел широкую популярность в последнее время. С помощью краудфандинга артисты записывают музыкальные альбомы, начинающие предприниматели привлекают инвестиции для своих стартапов, политики финансируют свои избирательные кампании.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2017
Свойства задачи: 
Качественная задача

Как построить стадион

По случаю Чемпионата мира 2018 года футбольный клуб «Забивака» решил построить новый стадион вместо того, на котором он играет сейчас. Спрос на посещение матчей предъявляют две группы болельщиков –– фанаты клуба и просто ценители красивой игры. Фанаты предъявляют спрос при любой игре команды; их функция спроса имеет вид $q_{1}(p)=60-p$, где p –– цена абонемента на посещение матчей в течение сезона, $q_{1}$ –– количество купленных абонементов. Ценители красивой игры предъявляют спрос на абонементы, только если клуб играл красиво в предыдущем сезоне.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2017

В чём согласны экономисты — 2

Продолжим обсуждать исследование Дэна Фуллера и Дорис Гейде-Стевенсон, которое упоминалось в задаче 2 первого тура олимпиады.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2017
Свойства задачи: 
Качественная задача

Счастливые рисоеды

В стране Альфа производится единственный товар – рис. Собранный в конце каждого года урожай риса жители страны могут либо съесть, либо засеять на поля, чтобы в следующем году получить новый урожай. Таким образом, $Y_{t}=I_{t}+C_{t}$, где $Y_{t}$ – собранный в году t урожай, $C_{t}$ – потребление в году t, $I_{t}$ – объём посева в году t (все переменные измеряются в тоннах). Засеяв $I_{t}$ тонн риса в году t, в следующем году можно собрать урожай $Y_{t+1}=80\sqrt{I_{t}}.$
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2017

Задача 12 заключительного этапа ВОШ — 2016

В N-ске есть 150 человек, которым утром нужно улететь в Москву (возвращаться они не пла- нируют). Готовность платить за билет каждого из них зависит от времени вылета рейса; для каж- дого пассажира существует некое идеальное для него время вылета, и чем больше отклонение фактического времени от идеального, тем меньше его готовность платить. Готовность платить пассажира i можно рассчитать по формуле
$V_{i}(t)=8−2∣t−t^*_{i} ∣$,
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016

Рациональные пингвины – 2

У императорских пингвинов яйца высиживают самцы. С началом антарктической зимы они получают яйца от самок и держат их между лап около двух месяцев, пока самки находятся в море. Эти два месяца самцы проводят в очень тяжелых условиях: температура может достигать −50 °C, а скорость ветра –– 200 км/ч.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016

Осторожный Кузьма – 2

Кузьма, знакомый вам по задаче регионального этапа, влюбился и решил подарить девушке красивый букет.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016

Экономика "Платона"

В Древней Греции ежегодный спрос купцов на грузоперевозки дальнобойными колесницами описывается уравнением $Q=100−P$, а предложение грузоперевозок со стороны колесничих–– уравнением $Q=P$, где $Q$ –– объем грузоперевозок (в тоннах, умноженных на километр пути), а $P$ –– цена за единицу перевозок (в драхмах на тонну-километр). Тяжелые колесницы наносят ущерб дорогам, который зависит от объема перевозок и равен $Q^2/4$ драхм –– ровно эту сумму нужно ежегодно тратить на ремонт дорог, чтобы они не портились со временем.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016

Бюджетный федерализм

Монополист, обратная функция спроса на продукцию которого имеет вид $p=140-2q$, работает по такой технологии, что для производства единицы продукции необходимы две единицы труда. Труд нанимается на конкурентном рынке по ставке заработной платы 10 д. е. С каждой проданной единицы фирма должна отчислять f д. е. в государственный бюджет –– это федеральный налог. Кроме того, с каждой нанятой единицы труда фирма должна отчислять r д. е. –– это региональный налог, взимаемый местными властями.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016