Голубой вагон и MC в дискретном случае

Права оказалась старуха Шапокляк.
В нашей задаче $Q_2-Q_1=1$, но фраза старухи верна для любого изменения выпуска, даже отрицательного. Мы выберем промежуточную степень общности, и докажем для случая $Q_2-Q_1>0$. (Для случая $Q_2-Q_1<0$ можете доказать сами.)

I способ

Сначала докажем два вспомогательных утверждения:

Утверждение 1:

$\frac{\Delta TC}{\Delta Q} >AVC_{1} \Leftrightarrow AVC_{2} >AVC_{1}$

Доказательство:

$\begin{array}{l} {\frac{\Delta TC}{\Delta Q} >AVC_{1} \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow \frac{VC_{2} -VC_{1} }{Q_{2} -Q_{1} } >\frac{VC_{1} }{Q_{1} } \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow VC_{2} Q_{1} -VC_{1} Q_{1} >VC_{1} Q_{2} -VC_{1} Q_{1} \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow \frac{VC_{2} }{Q_{2} } >\frac{VC_{1} }{Q_{1} } \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow AVC_{2} >AVC_{1} } \end{array}$

Утверждение 2:

$\frac{\Delta TC}{\Delta Q} >AVC_{2} \Leftrightarrow AVC_{2} >AVC_{1}$

Доказательство:

$\begin{array}{l} {\frac{\Delta TC}{\Delta Q} >AVC_{2} \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow \frac{VC_{2} -VC_{1} }{Q_{2} -Q_{1} } >\frac{VC_{2} }{Q_{2} } \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow VC_{2} Q_{2} -VC_{1} Q_{2} >VC_{2} Q_{2} -VC_{2} Q_{1} \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow \frac{VC_{2} }{Q_{2} } >\frac{VC_{1} }{Q_{1} } \Leftrightarrow } \\ {\Leftrightarrow AVC_{2} >AVC_{1} } \end{array}$

Здесь "$\Leftrightarrow$" – знак эквивалентности: $A\Leftrightarrow B$ означает, что эти два утверждения верны или не верны одновременно.

Тогда из утверждений 1 и 2 получаем $\frac{\Delta TC}{\Delta Q} >AVC_{1} \Leftrightarrow \frac{\Delta TC}{\Delta Q} >AVC_{2}$, т.е. эти два неравенства эквивалентны. В том числе, при $\Delta Q=1$.

II способ

$\begin{array}{l} {AVC_{2} =\frac{VC_{2} }{Q_{2} } =\frac{VC_{1} +\Delta TC}{Q_{2} } =\frac{\frac{VC_{1} }{Q{}_{1} } Q{}_{1} +\frac{\Delta TC}{\Delta Q} \Delta Q}{Q_{2} } =} \\ {=AVC_{1} \frac{Q{}_{1} }{Q{}_{2} } +\frac{\Delta TC}{\Delta Q} \cdot \frac{Q_{2} -Q_{1} }{Q_{2} } } \end{array}$

Обозначим $\frac{\Delta TC}{\Delta Q} =MC$. Напомню, что мы рассматриваем случай $Q_{2} >Q_{1}$. Тогда $AVC_{2}$ есть среднее арифметическое взвешенное между $AVC_{1}$ и $MC$, т.е. $AVC_{2} =\alpha AVC_{1} +(1-\alpha )MC$, где $0\le \alpha \le 1$; в данном случае $\alpha =\frac{Q{}_{1} }{Q{}_{2} }$. Значит, $AVC_{2}$ находится между $AVC_{1}$ и $MC$, а $MC$, соответственно, по одну сторону от $AVC_{1}$ и $AVC_{2}$, что и доказывает правоту старухи Шапокляк.