В производстве некоторого товара используется четыре фактора. Зависимость объёма производства от использованного количества этих факторов задаётся функцией $f(x_1, x_2, x_3, x_4)=x_1\cdot x_2+3x_3+4x_4$. Первые два фактора фирма покупает по рублю за единицу, третий – по три рубля, четвёртый – по четыре.
Найдите функцию издержек. (Напомню, она показывает, какую минимальную сумму денег необходимо потратить, чтобы произвести q единиц товара.)
Найдите функцию издержек. (Напомню, она показывает, какую минимальную сумму денег необходимо потратить, чтобы произвести q единиц товара.)
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
А сами факторы в данном случае считаются бесконечно делимыми, это да.
Если Q можно представить ввиде Q=3k+4b , где k и b целые, неотрицательные числа, то TC=Q
Если же этого сделать нельзя,то TC=Q+1 ???
У меня доказательство свелось к тому что:
если мы хотим произвести $Q$ продукции то затраты будут равны $(Q-n)+2\sqrt{n}$, поясню: $пусть(Q-n)$ - затраты на 4й или 5й(по поводу из агрегации я выше написал) фактор, они принесут нам ровно $Q-n$ продукции,тогда $2\sqrt{n}$ затрат на 1й и 2й факторы принесут нам $n$ продукции, очевидно $(Q-n) + n = Q$
Рассмотрим $Q-n+2\sqrt{n}$ у нас задача минимизировать эту величину,
на промежутке $n\in[0;1]$ функция возрастает $(Q = const)$ возрастает и минимум в точке $n=0$, тогда затраты равны $Q$,
на $n\in[1;\infty)$ функция убывает, тогда минимум при $n^m^a^x$, а $n^m^a^x=Q$, так как $Q-n\ge 0$. Тогда минимум затрат на данном промежутке равен(подставим) - $Q-Q+2\sqrt{Q}$.
"Из двух зол выбирай меньшее"
Ну собственно тогда наши затраты равны $min\{Q;2\sqrt{Q}\}$, надеюсь понятно, что подразумевает такое математическое обозначение.
$TC=min\{Q;2\sqrt{Q}\} \Leftrightarrow TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt(Q)\quad при\quadQ>4\end{cases}$
Думаю должно быть более простое доказательство того что первую группу факторов со второй комбинировать бесполезно, но пока я до него не дошел.
А чтобы сразу понять, что "первую группу факторов со второй комбинировать бесполезно", можно рассуждать так.
Каким бы ни был желаемый q, наша задача сводится к минимизации функции $2x_1+x_5$ при ограничении $x_1^2+x_5\ge q$ (произвели не меньше, чем требуется). Заметим сразу, что в оптимуме ограничение сядет на равенство ($x_1^2+x_5=q$): ведь иначе можно чуть уменьшить какой-нибудь из иксов, так что ограничение по-прежнему будет выполняться, но потратим мы меньше денег, а значит, это был вовсе не оптимум.
Для "каждого" q рисуем линию уровня ограничения (множество точек в координатах $x_1,x_5$, таких что $x_1^2+x_5=q$), и ездим по ней линией уровня целевой функции (это прямая с коэффициентом наклона -2): чем ниже – тем лучше. Из картинки сразу видно, что поскольку линия уровня ограничения вогнута вниз, то оптимум будет на краю. А вот на каком – зависит от q.
Будем откладывать $x_1$ по горизонтали. Линия уровня ограничения – перевёрнутая парабола. При маленьких q мы видим только её плоскую верхушку, и минимизация издержек приводит нас в левый верхний угол; при больших q она успевает круто упасть, и минимизируются издержки уже в правом нижнем углу. При q=4, стартовав из точки пересечения с вертикальной осью под наклоном -2, мы как раз упрёмся в точку пересечения с горизонтальной осью.
Тимур, у меня к тебе нескромная просьба. Если есть время, напиши решение этой задачи так, чтобы его можно было поместить в официальное решение: для этого нужно собрать комментарии воедино и написать кое-где чуть подробнее: так, чтобы решение поняли те, кто не смог решить самостоятельно. Просто у меня сейчас убойная сессия в РЭШ, и хоть я и не удерживаюсь от того, чтобы прокомментировать решение или вывесить очередную придуманную задачку, остатки благоразумия не позволяют мне заниматься вещами "избыточными" – писать официальное решение, когда, вроде как, решение уже и так написано в комментариях. В то же время большинству пользователей сайта (тем, чей след фиксирует лишь статистика посещаемости) подробное решение будет очень полезным.
Кстати,у моего решения есть графическая интерпретация, она чем-то схожа с твоей, по крайней мере вид графиков и их движения схожи, только введение другое.
РЭШ это серьезно, понимаю, попробую оформить на днях поприличней. А собственно математическое решение писать?(На мой взгляд для восприятия оно легче,чем иллюстрация движений графиков)
А решение пиши какое хочешь, главное, чтобы это тебе удовольствие приносило (ну, при ограничениях правильности и понятности решения) :)
a)
Рассмотрим факторы производства $x_1$ и $x_2$, пусть общие затраты на их покупку равны $N$, тогда,так как цены равны единице : $x_1 + x_2 = N$.Кол-во произведенной продукции равняется $х_1\cdot x_2$, по неравенству Коши $х_1\cdot x_2$ достигает максимума тогда когда $x_1=x_2$.
Таким образом, если мы покупаем некоторое число первого и второго факторов производства, то оптимальной является покупка их в отношении $1/1$.
Тогда, так как оба фактора "абсолютно равноправны", их можно агрегировать до некоторого фактора $x_a$(т.е. $x_1\cdot x_2={x_a}^2$),цена за единицу которого - $2$ рубля
Тогда $f(x_a,x_3,x_4) = {x_a}^2 + x_3+x_4$
б)
Теперь рассмотрим фактор производства $x_3$ : пусть затраты на его покупку равняются $S$, тогда мы сможем купить $\frac{S}{3}$ единиц этого фактора, тогда они принесут нам ровно$\frac{S}{3}\cdot3$ единиц продукции. Таким образом затраты на покупку $x_3$ численно равны количеству произведенной на эти деньги продукции. Ситуация с фактором производства $x_4$ аналогична рассмотренной.
Можно сделать вывод, что затратив рубль на покупку $x_3$ или $x_4$, мы получим ровно единицу продукции от каждого из этих факторов, поэтому два этих фактора можно агрегировать до некоторого нового фактора производства $x_b$, цена единицы которого - $1$ рубль.
Тогда $f(x_a,x_b) = {x_a}^2 + x_b$
2.
Пусть мы хотим произвести $ Q $ продукции и затраты на $x_b$ равны $(Q-n)$, тогда это принесёт нам ровно $ Q-n $ продукции.
С помощью $x_a$ нам нужно произвести еще $n$ продукции, тогда затраты на это будут равняться $2\sqrt(n)$.
В итоге, количество произведенной продукции $= (Q-n) + n = Q $, а затраты $TC(Q)=Q-n+2\sqrt(n)$
Рассмотрим $TC(Q)=Q-n+2\sqrt{n} $, минимизируем данную функцию на двух промежутках:
a)
На промежутке $ n\in[0;1] $ функция возрастает, тогда
минимум достигается в точке $ n=0 $, следовательно затраты равны $TC(Q)=Q-0+2\sqrt{0}=Q $
б)
На $ n\in[1;\infty) $ функция убывает, тогда минимум достигается при $ n^m^a^x $, $ n^m^a^x=Q $, так как $ Q-n\ge 0 $. Таким образом минимум затрат на данном промежутке равен $TC(Q)= Q-Q+2\sqrt{Q}=2\sqrt{Q}$
"Из двух зол выбирай меньшее"
Итого, наши затраты свелись к $TC(Q)= min\{Q;2\sqrt{Q}\} $
$TC=min\{Q;2\sqrt{Q}\} \Leftrightarrow TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt(Q)\quad при\quadQ>4\end{cases}$
Ответ
$TC=min\{Q;2\sqrt{Q}\} \Leftrightarrow TC=\begin{cases}Q\quad при\quad Q\le4\\2\sqrt(Q)\quad при\quadQ>4\end{cases}$