Как-то раз несколько активных пользователей нашего сайта собрались вместе, чтобы посоревноваться в решении задач. Андрей зачитывал условие:
– Совершенно конкурентная фирма максимизирует прибыль, производя 13 единиц продукции. $MC(11)=7$, $TC(11)=71$, $TC(13)=91$. Функция предельных издержек возрастающая и непрерывная, причём при $Q\ge x$ она линейна, а при $Q\le x$ является многочленом 33-й степени. Найдите рыночную цену, если $x$ равен...
– Ооооо)) Это же транс-неравенство в явном виде! – Закричал Сурен прямо в ухо сидящему рядом Дану.
– Отстань, не смешно. Я из-за тебя прослушал, чему равен $x$.
А тем временем Тимур, которому удалось расслышать $x$, уже решил задачу и передал Андрею листок с ответом.
– Да, цена именно такая. Ребята, у вас ещё есть возможность сравнять счёт! – сказал Андрей, обращаясь к Дану и Сурену.
Немного подумав над задачей и сделав некоторые расчёты, Дан заключил:
– Раз Тимуру удалось найти ответ, значит, $x$ лежит в промежутке <пропуск>. Ну а цена равна <пропуск>.
– Совершенно конкурентная фирма максимизирует прибыль, производя 13 единиц продукции. $MC(11)=7$, $TC(11)=71$, $TC(13)=91$. Функция предельных издержек возрастающая и непрерывная, причём при $Q\ge x$ она линейна, а при $Q\le x$ является многочленом 33-й степени. Найдите рыночную цену, если $x$ равен...
– Ооооо)) Это же транс-неравенство в явном виде! – Закричал Сурен прямо в ухо сидящему рядом Дану.
– Отстань, не смешно. Я из-за тебя прослушал, чему равен $x$.
А тем временем Тимур, которому удалось расслышать $x$, уже решил задачу и передал Андрею листок с ответом.
– Да, цена именно такая. Ребята, у вас ещё есть возможность сравнять счёт! – сказал Андрей, обращаясь к Дану и Сурену.
Немного подумав над задачей и сделав некоторые расчёты, Дан заключил:
– Раз Тимуру удалось найти ответ, значит, $x$ лежит в промежутке <пропуск>. Ну а цена равна <пропуск>.
Заполните пропуски.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Так как функцию $MC(Q)$ линейна, введём некую функцию $TC(Q) = aQ^2 + bQ + c$, тогда $MC(Q) = 2aQ + b$. По условию дано $MC(11)=7$, следовательно, $22a + b = 7$. Найдём $TC(13) - TC(11) = 169a + 13b + c - 121a - 11b - c = 48a + 2b = 91 - 71 = 20$. Получили систему, из которой находим $a=1,5$, $b=-26$, следовательно, $MC=3Q - 26$. По условию, оптимальный выпуск равен 13, а в точке оптимума для сов.конкурентной фирмы $MC = P$, следовательно, $P=MC(13)= 39 - 26 = 13$.
Но на самом деле здесь убывающая TC ничем не помешает; при выполнении условий задачи положение MC левее точки X не повлияет на ответ.