Али-Баба собирается поступить в вуз, получив диплом Межрегиональной многопрофильной олимпиады (ММО) по профилю "Экономика". Для него это единственный шанс поступить на бюджетное отделение. Сорок два его знакомых разбойника недавно стали дипломантами всероса, получив таким образом право без экзаменов поступить на бюджетное отделение, но по инерции зарегистрировались и на ММО.
Али-Баба имеет следующие представления о ММО. Будет выдано ровно 100 дипломов – 100 первым по количеству набранных баллов. Без учёта дипломантов всероса Али-Баба рассчитывает занять 100-е место. Любой из дипломантов всероса напишет лучше Али-Бабы и таким образом лишит его диплома. Свою полезность от обладания дипломом ММО Али-Баба оценивает в X рублей.
Для сорока разбойников почти безразлично, участвовать в ММО или нет; каждый из них оценивает свою полезность от участия всего в 1 рубль. Но два разбойника особенные. Один из них всю свою сознательную жизнь готовился именно к ММО, а потом вдруг стал дипломантом всероса; но всё равно ему будет обидно пропустить ММО, и он оценивает свою полезность от участия в ней в 500 рублей. Другой разбойник, родом из Самарской области, в день олимпиады в любом случае будет в Москве (так уж получилось), и ему будет неловко побывать в Москве, но при этом не поучаствовать в ММО; он оценивает свою полезность от участия в 100 рублей.
Али-Баба хотел бы заплатить разбойникам, чтобы они отказались от участия. Проблема в том, что для Али-Бабы все разбойники на одно лицо, а верить им бесполезно: каждый будет кричать, что он – особенный, с полезностью 500 рублей.
Али-Баба имеет следующие представления о ММО. Будет выдано ровно 100 дипломов – 100 первым по количеству набранных баллов. Без учёта дипломантов всероса Али-Баба рассчитывает занять 100-е место. Любой из дипломантов всероса напишет лучше Али-Бабы и таким образом лишит его диплома. Свою полезность от обладания дипломом ММО Али-Баба оценивает в X рублей.
Для сорока разбойников почти безразлично, участвовать в ММО или нет; каждый из них оценивает свою полезность от участия всего в 1 рубль. Но два разбойника особенные. Один из них всю свою сознательную жизнь готовился именно к ММО, а потом вдруг стал дипломантом всероса; но всё равно ему будет обидно пропустить ММО, и он оценивает свою полезность от участия в ней в 500 рублей. Другой разбойник, родом из Самарской области, в день олимпиады в любом случае будет в Москве (так уж получилось), и ему будет неловко побывать в Москве, но при этом не поучаствовать в ММО; он оценивает свою полезность от участия в 100 рублей.
Али-Баба хотел бы заплатить разбойникам, чтобы они отказались от участия. Проблема в том, что для Али-Бабы все разбойники на одно лицо, а верить им бесполезно: каждый будет кричать, что он – особенный, с полезностью 500 рублей.
а) Пораскинув калькулятором, Али-Баба решил, что ему будет выгодно заплатить разбойникам, даже если всем им придётся платить одинаковую цену. Сколько получит каждый разбойник? Чему равен X?
б) А если бы полезность Али-Бабы была меньше, чем самое маленькое из возможных значений X, найденных в пункте а), означало ли бы это, что он останется без диплома ММО?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
например: все называют свою полезность $v_i$,и если $\sum_{i=1}^{42}\le X$(никто из разбойников не знает, чему равен X), то Али-баба обещает всем выплатить их $v_i$
Это если считать, что выбирая между написанием олимпиады и денежным эквивалентом этого процесса разбойники выберут последнее.
В описанной тобой игре (когда Али-Баба платит каждому его число в том и только в том случае, если каждый отказывается от участия в олимпиаде и сумма этих чисел не больше 640) ситуация, когда каждый называет свою истинную полезность, действительно является равновесием по Нэшу, то есть это такая ситуация, что ни один игрок не смог бы увеличить свой выигрыш, если бы изменил свою стратегию (в данном случае стратегия – число, которое он называет) при условии, что остальные игроки не меняют свои стратегии.
Более того, это равновесие в этой игре будет единственным среди эффективных, то есть тех, когда разбойники отказываются от участия (мы предполагаем, что $X\ge640$, поэтому такая ситуация является эффективной). Действительно, если хоть кто-то назовёт больше своей истинной полезности, то сумма заведомо получится больше 640, т.к. никто не назовёт меньше своей истинной полезности (уж лучше он пойдёт на олимпиаду).
Кстати, получается, что в этой игре назвать свою истинную полезность является для каждого конкретного игрока нестрого доминирующей стратегией – это такая стратегия данного игрока, что каковы бы ни были выбранные стратегии других игроков, данный игрок не смог бы увеличить свой выигрыш, выбрав другую стратегию.
Таким образом, обсуждаемое равновесие Нэша является и равновесием в нестрого доминирующих стратегиях, что очень хорошо, т.к. предпосылка о том, что игрок выбирает нестрого доминирующую стратегию, если она у него есть, кажется правдоподобной, и таким образом мы с большой уверенностью можем предсказать исход данной игры.
Я предполагал другое решение (другой механизм, который объявляет Али-Баба, и, соответственно, другую игру), а именно, зеркальное отражение того, что было в пункте в) Нестриженска.
Ну тут опять какая - то фишка как в Нестриженске) Типа мы говорим человеку "10", и когда видим, что он уходит, поднимаем до 500.
это единственный шанс поступить на бюджет(по условию)
его издержки от владения дипломом минимальны по сравнению с издержками обучения на коммерческой основе
хотя об этом не сказано