Фирма АВ производит два продукта: А и В. Функция прибыли фирмы имеет вид F(x,y) = - x2 + x + xy + 3y - y2 + 25 , где x – объём производства товара А, y – объём производства товара В. Найдите объёмы производства товаров А и В, максимизирующие прибыль фирмы, если:
1)Можно произвести любые неотрицательные объёмы обоих товаров;
2)Можно произвести любое неотрицательное целое число товаров каждого вида;
3)Товара А можно произвести любое неотрицательное количество, а товара В – любое неотрицательное целое число.
1)Можно произвести любые неотрицательные объёмы обоих товаров;
2)Можно произвести любое неотрицательное целое число товаров каждого вида;
3)Товара А можно произвести любое неотрицательное количество, а товара В – любое неотрицательное целое число.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
2) Возможны наборы (1;2),(2;2),(2;3).
3) X = 1,5; Y = 2.
Или это не возбраняется?
Если вы понимаете, почему приравнивание частных производных к нулю является необходимым условием для внутреннего максимума дифференцируемой функции, а также понимаете и можете обосновать, почему то, что вы нашли, будет именно максимумом (то есть умеете проверять достаточные условия), то этим методом можно пользоваться. Мне кажется, что этот инструментарий доступен довольно малому числу школьников. Тупо взять частные производные и приравнять их к нулю, не осознавая смысла своих действий, — это не решение.
Я, к примеру, вот эту задачу решаю с помощью частных производных, не из-за того, что не знаю, как по- другому, просто они мне нравятся.
http://iloveeconomics.ru/zadachi/z1057
Соответственно, я ничего там не доказываю.
А если, к примеру зависят, такие задачи мне тоже попадались, тогда я рискую баллами, бездоказательно решая с помощью ч.п.?
Много ли снимают — смотря в какой задаче. На факультете экономики Вышки есть целый отдельный курс о том, как грамотно решать задачи на поиск экстремума функций нескольких переменных с ограничениями.
2) 2 и 2 ;
3) 1,(6) и 2
upd : в п.2 еще подходят x=1 и y=2 ; x=2 и y=3 т.к прибыль при таких наборах равна и соответствует 29
Найдем максимум функции прибыли двумя способами: сначала для любого $x$, подберем $y$, при котором значение максимально, потом для любого $y$ подберем $x$, а затем сравним их или покажем, что они одинаковы.
$1: \pi = -y^2 +xy + 3y - x^2 + x + 25$. При решении относительно $y$ это парабола с ветвями вниз. Нам известно, что $x>0, y>0$. Вершина этой параболы это: $y_{v} = \frac{3+x}{2}$. Значит вершина параболы находится всегда в участке, где $y>0$, а значит максимум у этой функции только на этом участке. Возьмем производную по $y$. Тогда $y = \frac{x+3}{2}$. Тоесть у всех функций нашего типо максимум при таком игрике (это максимум т.к. у нас функция квадратичного типа с ветвями вниз). Ну тогда подставим это в исходное уравнение и возьмем от нового выражения производную: $-y^2 + (2y-3)y + 3y - (2y-3)^2 + 2y - 22 = \pi (y)$. И получилось, что
$y=\frac{7}{3}; x=\frac{5}{3}$.
Теперь делаем тоже самое для любого $y$ относительно x.
$2: -x^2 + x + xy + 3y - y^2 +25 = \pi$. Вершина при $x_v = \frac{1+y}{2}$. Опять же получается, что максимум всегда лежит на "хорошем участке", где x>0, y>0. Тогда проделываем эту скучную процедуру по взятию производной опять: $-2x + 1 + y= 0; y = 2x-1$. Подставляем в наше выражение
$-x^2 + x + x(2x-1) + 3(2x-1) - (2x-1)^2 + 25 = -3x^2 + 10x + 21$. Берем производную получается, что $x=\frac{5}{3}$, $y = \frac{7}{3}$. Это максимум для такой функции. Получается, что в своем решение я перебрал все пары (x;y) и глобальный максимум действительно при $(\frac{5}{3};\frac{7}{3})$
Рассмотрим непрерывную, дифференцируемую в каждой точке функцию $f(x,y)=- x^2 + x + xy + 3y - y^2 + 25 $.
По теореме о необходимом условии экстремума:$\begin{cases}\frac{\partial f(M_{0})}{\partial x}=0\\\frac{\partial f(M_{0})}{\partial y}=0\end{cases}$, где $M(x_{0};y_{0})$ - точка экстремума, имеем систему $\begin{cases}-2x+y+1=0\\-2y+x+3=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=\frac{7}{3}\end{cases}$, то есть $M_{0}(\frac{5}{3};\frac{7}{3})$ - подозрительная на экстремум.
Частные производные второго порядка для точки $M_{0}$: $\frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial x^2}=A; \frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial x \partial y}=B; \frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial y^2}=C$.
Определитель: $\Delta=A\cdot C-B^2$, теперь достаточные условия для экстремума
1). Если $\Delta>0$ - экстремум есть (у нас $\Delta=(-2)\cdot (-2)-1^2=3>0$), при этом если $A<0$ или $C<0$, то это максимум (у нас $A=-2<0$)
Вывод: точка $M_{0}(\frac{5}{3};\frac{7}{3})$ действительно дает максимум прибыли.
Я вот этого не понял немного : " может получиться так, что функция задана на отрицательном участке x или y и в точке x=0 или y=0, где она убывает (а может возрастает?), она может и быть точкой максимума, которую производной не найдешь." Что ты имел в виду?:)
UPD Возрастание или убывание функции нескольких переменных!
Отвлечемся от функции нескольких переменных и представим, что у нас была бы дана функция одной переменной, парабола, например, и её $x_{вершины}<0$, тогда на множестве $[0;+\infty )$ максимум достигался бы в нуле, а если бы функция была "понавороченней" (парабола 4-ой степени, например), то тогда могло бы выполняться то, о чём ты говоришь, то есть прибыль в нуле могла быть больше чем, в локальном максимуме на положительном участке.
Здесь же это не пройдет потому, что у нас максимум на допустимом участке ($x\geq 0, y\geq 0$) и мы доказали, что это максимум.
Так как в точке $M_{0}$ обе частные производные обращаются в ноль, то она является стационарной, то есть подозрительной на экстремум. Для дальнейшего анализа нам нужно использовать матрицу Гессе (матрицу вторых производных) для точки $M_{0}(x_{0};y_{0})$, с её помощью можно однозначно узнать экстремум это (максимум или минимум), или не экстремум.
Матрица Гессе для функции двух переменных имеет вид: $$H(f(M_{0}))=\begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial x^2} \text{ }\frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial y \partial x }\text{ }\frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial y^2} \\ \end{bmatrix}$$
Можно для простоты переобозначить: $\frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial x^2}=A; \frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial y \partial x }=B; \frac{\partial^2 f(M_{0})}{\partial y^2}=C$
Вычисляем определитель: $\Delta=A\cdot C-B^2$
1. Если $\Delta>0$ - экстремум есть, при этом, если $A>0$ ( или $C>0$ ), то в точке $M_{0}(x_0;y_0) $ функция имеет минимум, а если $A<0$ ( или $C<0$ ), то в точке $M_{0}(x_0;y_0) $ функция имеет максимум
2. Если $\Delta<0$ - экстремума нет
3. Если $\Delta=0$ - требуются дополнительные условия.
Учебник советский старый, но ошибок я в нём не замечал, и как всё-таки правильно??
P.s. Подправил комментарии, чтобы не вводить других пользователей в заблуждение.
P.S. Как Вы сами решали бы задачу без производных (заметим, что времени на решение задач очень мало)