Сложение кривых Лоренца

Коэффициенты Джини отличаются на $1\Rightarrow$ один из них равен $0$ (в демократической стране), а другой – $1$ (в тоталитарной).

Обозначим демократическую страну «D», а тоталитарную – «T», $Y$ – ВВП, $P$ – численность населения, момент до войны – «0», момент после войны – «1».

Тогда

$Y_1^D = 0,75Y_0^D$; $P_1^D = 0,8P_0^D$.

$Y_1^T = 0,25Y_0^T$;$P_1^T = 0,4P_0^T$.
Отсюда
$\frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T }} = 3\frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }}$;$\frac{{P_1^D }}{{P_1^T }} = 2\frac{{P_0^D }}{{P_0^T }}$.
Но в силу равенства ВВП на душу населения до войны $\frac{{Y_0^D }}{{P_0^D }} = \frac{{Y_0^T }}{{P_0^T }} \Rightarrow \frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }} = \frac{{P_0^D }}{{P_0^T }}$.

Значит,$ \frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T }} = 3\frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }} = 3\frac{{P_0^D }}{{P_0^T }} = 1,5\frac{{P_1^D }}{{P_1^T }}$.
Обозначим $\frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T }} = x,{\rm{ }}\frac{{P_1^D }}{{P_1^T }} = y$. Тогда $x = 1,5y$.
Поймем, как будет выглядеть кривая Лоренца объединенного государства. Самые бедные в новом государстве – это жители бывшего тоталитарного государства, имеющие нулевые доходы. Их доля в населении нового государства равна $\frac{{P_1^T }}{{P_1^D + P_1^T }} = \frac{1}{{y + 1}} $, поэтому на отрезке $[0;\frac{1}{{y + 1}}]$ кривая Лоренца нового государства будет совпадать с осью абсцисс. «Средний класс» в новом государстве будут составлять бывшие жители демократического государства. Вместе с бедными они будут составлять почти все население нового государства, а суммарная доля доходов этих групп населения в общем ВВП равна $0 + \frac{{Y_1^D }}{{Y_1^T + Y_1^D }} = \frac{x}{{x + 1}}$. Кроме того, внутри среднего класса распределение доходов абсолютно равномерно, поэтому следующий участок общей кривой Лоренца будет отрезком прямой с концами в точках $A\left({\frac{1}{{y + 1}};0} \right)$ и $B\left({1;\frac{x}{{x + 1}}} \right)$. И, наконец, соединяя точку $B$ с точкой $C(1;1)$, получаем отрезок общей кривой Лоренца, «ответственный» за богатых, то есть за ту самую крайне малочисленную группу населения тоталитарной страны, располагавшую всем ее ВВП. В итоге общая кривая Лоренца имеет вид:

Тогда коэффициент Джини равен $\frac{{S_{OABC} }}{{S_{OCD} }} = 1 - \frac{{S_{ABD} }}{{S_{OCD} }} = 1 - \frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{y}{{y + 1}} = \frac{1}{2}$.
Учитывая то, что $x = 1,5y$, имеем:
$\begin{array}{l} \frac{{1,5y^2 }}{{(1,5y + 1)(y + 1)}} = \frac{1}{2} \\ 3y^2 - 5y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 = \frac{{P_1^D }}{{P_1^T }} \\ \end{array}$
Значит, $\frac{{Y_0^D }}{{Y_0^T }} = \frac{{P_0^D }}{{P_0^T }} = \frac{2}{2} = 1$.
Получается, что до войны страны имели одинаковый ВВП и одинаковую численность населения!
Если бы страны объединились до войны, то общая кривая Лоренца имела бы качественно такой же вид, как и в случае объединения после войны. Следуя описанной выше логике построения этой кривой, нетрудно установить, что совокупная кривая Лоренца до войны проходила бы через точки $(0;0),{\rm{ }}(0;0,5),{\rm{ }}(1;0,5),{\rm{ }}(1;1)$, и совокупный коэффициент Джини был бы равен $0,75$.