Минимизация издержек при убывающих AC на каждом из заводов

$AC_{\text{двух_заводов}} = \frac{TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2)}{Q_1 + Q_2} = \frac{\frac{TC_1(Q_1)}{Q_1}Q_1 + \frac{TC_2(Q_2)}{Q_2}Q_2}{Q_1 + Q_2} =\\
= AC_1(Q_1)\frac{Q_1}{Q_1+Q_2} + AC_2(Q_2)\frac{Q_2}{Q_1+Q_2} =\\
= AC_1(Q_1)\alpha_1 + AC_2(Q_2)\alpha_2$
где все $\alpha_i > 0$, $\alpha_1 + \alpha_2 = 1$, т.е. общее AC двух заводов – это среднее взвешенное между индивидуальными AC этих заводов. Поэтому оно не меньше, чем минимальное из них.

По условию все $AC_i$ убывают. Сделаем следующий трюк: выберем из этих двух заводов тот, у которого $AC_i(Q_i)$ минимально, и перебросим на него весь суммарный выпуск этих двух заводов. Тогда, с одной стороны, $AC_i$ этого завода станет ещё меньше, а с другой стороны, общее AC этих двух заводов теперь равно этому самому $AC_i$ (т.к. у другого завода стали равны нулю и выпуск, и общие издержки). Таким образом, нам удалось снизить общие AC двух заводов, а значит, и суммарные TC этих двух заводов, т.к. их суммарный выпуск не изменился. Значит, мы снизили суммарные TC фирмы. Значит, наша первоначальная точка (где хотя бы у двух заводов объёмы положительны) не оптимальна.
Итак, в оптимуме весь выпуск будет производиться на одном заводе.