Кубический Лоренц

Пусть кривая Лоренца $L(x)$ описывается кубическим многочленом и проходит через точку
$\left(\tfrac12,\tfrac18\right)$.
По определению кривой Лоренца выполняются условия
\[
L(0)=0, \qquad L(1)=1,
\]
а также $L(x)$ неубывающая и выпуклая на отрезке $[0,1]$.

а) Найдём коэффициент Джини.

Рассмотрим общий вид кубического многочлена:
\[
L(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
\]
Из условий $L(0)=0$ и $L(1)=1$ получаем
\[
d=0, \qquad a+b+c=1.
\]
Из условия
\[
L\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18
\]
следует
\[
\frac{a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}=\frac18,
\]
или, после умножения на $8$,
\[
a+2b+4c=1.
\]
Вычитая уравнение $a+b+c=1$, получаем
\[
b+3c=0 \quad \Rightarrow \quad b=-3c,
\]
\[
a=1-b-c=1+2c.
\]
Следовательно, все кубические кривые Лоренца, проходящие через заданные точки, имеют вид
\[
L(x)=(1+2c)x^3-3cx^2+cx.
\]

Коэффициент Джини равен
\[
G=1-2\int_0^1 L(x)\,dx.
\]
Вычислим интеграл:
\[
\int_0^1 L(x)\,dx
=\frac{1+2c}{4}-c+\frac{c}{2}
=\frac14,
\]
что не зависит от параметра $c$.
Отсюда
\[
G=\frac12.
\]

б) Теперь попробем найти значение коэффициента $c$, чтобы определить точный вид кривой Лоренца. Кривая выпукла на $[0,1]$, значит

\[
L''(x)=6ax+2b\ge 0
\quad \forall x\in[0,1].
\]

В частности, при $x=0$:

\[
2b\ge 0
\quad\Rightarrow\quad
b\ge 0.
\]

С учётом $b=-3c$ из пункта а):
\[
-3c\ge 0
\quad\Rightarrow\quad
c\le 0.
\tag{1}
\]

Кривая Лоренца неубывающая, следовательно,

\[
L'(x)\ge 0 \quad \forall x\in[0,1].
\]

В частности,
\[
L'(0)\ge 0.
\]

\[
L'(x)=3ax^2+2bx+c,
\quad\Rightarrow\quad
L'(0)=c.
\]

Отсюда:
\[
c\ge 0.
\tag{2}
\]

Из (1) и (2) получаем:
\[
c=0.
\]

Тогда:

\[
b=0,\qquad a=1.
\]

Следовательно, единственная возможная кривая Лоренца $L(x)=x^3$.