КПВ из выручки

Пусть вектор цен $\vec{p}$ имеет координаты $(p_x, p_y)$, а вектор объёмов производства $\vec{q}$ — $(x, y)$. Тогда совокупная выручка представляет собой скалярное произведение:
\[
TR = \vec{p} \cdot \vec{q} = p_x x + p_y y.
\]

Это выражение можно записать как:
\[
TR = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos\alpha,
\]
где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$.

Из условия следует, что при $|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = 10$ максимальная выручка составляет $TR_{\text{max}} = 100$. Подставим эти значения:
\[
100 = 10 \cdot |\vec{q}| \cdot \cos\alpha.
\]

Максимальная выручка для данной КПВ и заданного вектора цен $\vec{p}$ достигается в точке, где $\vec{q}$ сонаправлен с $\vec{p}$ (т.е. $\cos\alpha = 1$), и лежит на границе множества производственных возможностей. Следовательно, для вектора цен с $|\vec{p}|=10$ существует такой вектор производства $\vec{q}^*$ на КПВ, что:
\[
100 = 10 \cdot |\vec{q}^*| \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad |\vec{q}^*| = 10.
\]

Это означает, что для некоторых направлений вектора $\vec{p}$ (а именно, для тех, где $|\vec{p}|=10$) оптимальная точка производства лежит на окружности радиуса 10.

Ключевое наблюдение: Поскольку КПВ выпукла, а альтернативная стоимость меняется от $0$ до $\infty$, КПВ должна быть гладкой и «касаться» окружности $x^2+y^2=100$ во всех точках. Если бы это было не так, то для некоторых ценовых векторов с $|\vec{p}|=10$ максимальная выручка была бы меньше 100, что противоречило бы условию.

Следовательно, граница области производственных возможностей задаётся уравнением:
\[
x^2 + y^2 = 100.
\]

Проверим выполнение условий задачи.

1. Альтернативная стоимость производства $X$ в точке $(x, y)$ равна:

\[
AC_x=|y'_x| = \bigg|-\frac{x}{\sqrt{100 - x^2}}\bigg|=\bigg|-\frac{x}{y}\bigg|=
\frac{x}{y}.
\]

При движении вдоль КПВ от точки $(0, 10)$ к точке $(10, 0)$ величина $\frac{x}{y}$ монотонно возрастает от $0$ до $+\infty$, что удовлетворяет условию.

2. В оптимуме наклон КПВ равен наклону линии бюджетного ограничения (линии постоянной выручки):
\[
|y'_x| = \frac{p_x}{p_y} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{y} = \frac{p_x}{p_y}.
\]
Отсюда $y = \frac{p_y}{p_x} x$. Подставим в уравнение КПВ:
\[
x^2 + \left( \frac{p_y}{p_x} x \right)^2 = 100,
\]
\[
x^2 \left(1 + \frac{p_y^2}{p_x^2}\right) = 100,
\]
\[
x^2 \cdot \frac{p_x^2 + p_y^2}{p_x^2} = 100 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10 p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}.
\]
Аналогично находим:
\[
y = \frac{10 p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}.
\]

Рассчитаем максимальную выручку при произвольных ценах $(p_x, p_y)$:
\[
TR_{\text{max}} = p_x x + p_y y = p_x \cdot \frac{10 p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} + p_y \cdot \frac{10 p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} = \frac{10 (p_x^2 + p_y^2)}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} = 10 \sqrt{p_x^2 + p_y^2}.
\]

Согласно условию, на кривой $p_y = \sqrt{100 - p_x^2}$ (или $p_x^2 + p_y^2 = 100$) выручка равна $100$. Подставляя это тождество в формулу для $TR_{\text{max}}$, получаем:
\[
TR_{\text{max}} = 10 \sqrt{100} = 100,
\]
что полностью соответствует условию.