КПВ и дискретный ресурс

Положим $k$ единиц капитала отправляется для производства икса, а $100-k$ единиц для производства игрека. В этом случае $X=kL_X$ или $L_X=X/k$, аналогично $Y=(100-k)L_Y$ или $L_Y=Y/(100-k)$. C учетом $L_X+L_Y=100$ имеем ограничение:

$$\frac{X}{k}+\frac{Y}{100-k}=100$$

С учетом $X=Y/2=N$ ($N$ -- уровень потребления комплектов) имеем:

$$\frac{N}{k}+\frac{2N}{100-k}=100$$

$$N = \frac{100 \cdot k(100-k)}{100 + k}$$

Найдем при каких $k$ потребление от $k$ будет не меньше потребления от $k-1$:

$$N(k) \geq N(k-1)$$

$$ \frac{100 \cdot k(100-k)}{100 + k} \geq \frac{100 \cdot (k-1)(100-(k-1))}{100 + (k-1)}$$

$$ \frac{k(100-k)}{100+k} \ge \frac{(k-1)(101-k)}{99+k}$$

Неравенство преобразуется до уровня $k^2 + 199k - 10100 \le 0$. Единственный неотрицательный корень квадратного уравнения \(k^2 + 199k - 10100 = 0\): $k = \frac{83.84}{2} = 41,92...$. В этом случае неравенство \(k^2 + 199k - 10100 \le 0\) выполняется при $0 < k \le 41$, то есть \(N(k) \ge N(k-1)\) при \(k \le 41\), значит \(N(k)\) возрастает до \(k=41\) и переходить до $k=42$ не выгодно, так как $N(42) < N(41)$.

Откуда получаем ответ:

\[
N(41)=\frac{100 \cdot 41(100-41)}{100 + 41}=1715\frac{85}{141}
\]