Семейный бюджет

В семье четыре человека: мама, папа, сын и дочь. Каждую неделю дети вместе с одним из родителей на весь день отправляются гулять в парк, где они обычно покупают хот-доги и мороженное. Хот-дог стоит $200$ рублей, мороженое – $100$ рублей. Предпочтения сына и дочери задаются функциями полезности

$u_s=\left(x_s^2-8x_s-4y_s+y_s^2\right)^{-1}\ \ \ $ и $\ \ \ u_d=\left(x_d^2-4x_d-8y_d+y_d^2\right)^{-1}$

соответственно, где $x_s$ и $x_d$ – количества съеденных ими хот-догов, а $y_s$ и $y_d$ – количества купленных ими порций мороженного. Каждый покупает себе еду самостоятельно, поэтому и при входе в парк мама или папа делит на троих дневной бюджет в размере $I=2700$ рублей. При этом дележе предпочтения мамы и папы описываются функциями полезности

$u_m=I_s\cdot I_d\cdot (I-I_s-I_d)\ \ \ $ и $\ \ \ u_f=u_s+u_d+\left(x_f^2-6x_f-6y_f+y_f^2\right)^{-1}$

соответственно, где $I_s$ – бюджет сына, $I_d$ – бюджет дочери, а $x_f$ и $y_f$ – количества хот-догов и порций мороженного, которые покупает папа.

(a) Как будет распределён бюджет, если дети идут в парк вместе с мамой? Будет ли Парето-эффективным распределение средств между сыном и дочерью? А между сыном, дочерью и мамой?
(b) Как вы ответите на те же три вопроса в том случае, когда дети идут гулять вместе с папой?
(c) С кем из родителей больше нравится ходить в парк сыну и дочери, если и с мамой, и с папой им одинаково интересно? Как этот результат можно объяснить интуитивно?

Задача вошла в Олимпиаду Вечерней школы IES 2020-21.
$\ $