Вася и Петя решают, как разделить пирог, который только что испекла для них мама. Каждый хочет получить как можно большую часть пирога и как можно раньше (пирог остывает). Ценность пирога для Васи умножается на величину $0<\delta_В<1$ по истечении каждых 5 минут ожидания. Петя более терпеливый, и его ценность пирога умножается на $\delta_В<\delta_П<1$.
Нетерпеливый Вася первым предлагает дележ. Если Петя согласится, они делят пирог в предложенной Васей пропорции и немедленно его съедают. Если же он откажется, то Вася обидится и... это может иметь самые неожиданные последствия, которые будут описаны ниже.

  1. [Легко] Вася выбросит пирог в окно.
  2. [Средне] Вася не будет разговаривать с Петей 5 минут, а затем Петя сможет предложить свой дележ. Если Вася согласится, они сразу съедят пирог. Если откажется, то теперь уже Петя обидится и выбросит пирог в окно.
  3. [Сложно] Пирог будет выброшен в окно после $N$ отвергнутых предложений (например, в первом пункте $N=1$, а во втором $N=2$).
  4. [Легко, если сделать пункт 3] Ребята знают, что за испорченный пирог их накажет мама, поэтому они ведут себя так, как будто им можно спорить до бесконечности ($N = \infty$).

В каждом из описанных выше случаев ответьте на вопрос, будет ли выброшен пирог, и если нет, то в какой пропорции ребята его поделят и как скоро.