# Осторожно! Логарифмы!
Иван Петрович любит водку и пельмени. Каждый день его счастье можно посчитать по формуле $u_t = ln(x_t-\alpha H_t)+y_t$, где $x$ -- потребление водки в стопках, $y$ -- пельмени в килограммах, а $H$ -- похмелье в единицах печали ("Всему есть единицы измерения, за исключением печали и тоски (с)"), $0<\alpha<1$ - параметр. Пельмени продаются по цене 1 за килограмм, водка -- по цене $p$ за стопку. Похмелье меняется во времени по следующему закону: $ H_t = x_{t-1} + (1-\delta)H_{t-1} $, где $\alpha<\delta<1$ - параметр. Иван Петрович -- человек простой и не задумывается о том, что лишняя стопка водки сегодня скажется на его похмелье завтра (и в более далеком будущем). Он принимает решения, максимизируя только текущую полезность.

  1. Проинтерпретируйте закон изменения похмелья: почему разумно считать, что оно меняется так?
  2. Проинтерпретируйте функцию полезности. Как предельная полезность водки зависит от похмелья? Как от похмелья зависит общая полезность?
  3. Найдите выбор Ивана Петровича в течение дня в зависимости от его дохода, цены водки и похмелья (считая похмелье константой). Как полезность Ивана Петровича зависит от этих параметров?
  4. Учитывая закон динамики похмелья, к какому уровню стремится потребление водки со временем? От чего он зависит?
  5. Иван Петрович вступил в группу анонимных алкоголиков и теперь понимает, как потребление водки влияет на похмелье. Он даже посчитал, к какому уровню будет стремиться похмелье, если он будет выпивать по $x$ стопок в день каждый день. Теперь прежде чем выпить очередную стопку, Иван Петрович подставляет это значение в свою функцию полезности вместо $H$. Как изменится его потребление водки? Как оно зависит от параметров?