Фирма, максимизирующая прибыль, является монополистом на внутреннем рынке. Внутренний спрос на ее продукцию формируют две группы потребителей, функции спроса каждой из которых являются линейными. Ценовая дискриминация между группами внутренних потребителей запрещена. На внешнем рынке фирма может продать любое количество продукции по фиксированной мировой цене.

Функция предельных издержек фирмы строго возрастает.
Известно, что цена на внутреннем рынке составляет 46 денежных единиц. Эластичность спроса первой группы покупателей в точке максимума прибыли равна (-23/17), а второй группы – (-23). При этом эластичность внутреннего спроса находится в интервале от (-3) до (-1,5). Объем экспорта составляет 5 тысяч единиц продукции. Используя данные графика предельной выручки от продажи товара как на внутреннем, так и на внешнем рынках, определите значение мировой цены. 

 

Комментарии

Новая (но давно обсуждаемая) технология пошагового решения - супер!!! А шаг про маневр нужно переписать, он непонятный (то есть я-то понял, но...)
Да ладно, пусть дети мозг понапрягают! Вон Ваня вообще против того, чтобы выкладывать это решение сразу:)
не поможете решить????? Задача: можно ли определить эластичность предложения, если цена снизилась на 10% за счет снижения спроса, но выручка при этом увеличилась на 5%?
Желающие закрепить изученный материал могут попробовать свои силы, решив десятое задание из олимпиады "Ломоносов" 2009 года. Оно построено на похожей идее.

О том, как найти задания олимпиады, написано здесь: http://iloveeconomics.ru/blogs/id324/165

Давно хотел высказаться относительно данной задачи. На мой взгляд, график MR не может иметь такой вид. Варианта два: либо существуют только первый и второй участок при условии ориентации только на одну группу внутреннего спроса (не соответствует условию задачи), либо существуют только первый, третий и четвертый участок при условии ориентации на обе группы внутреннего спроса (соответствует условию задачи). Так что вместо второго участка надо нарисовать продолжение первого участка, тогда все встанет на свои места. Первый шаг предлагаемого решения имеет отношение (и то весьма косвенное, поскольку не учитывает МС) к выбору между упомянутыми выше двумя альтернативами, но не к виду графика MR во втором случае. IMHO, разумеется...
Я понимаю график, нарисованный в условии, в следующем смысле:

"График совокупных (с учётом обоих рынков) MR показывает, сколько принесет продажа дополнительной единицы при оптимальном выборе рынка, на который мы её понесём. Кроме того, рисуя MR при некотором Q, мы предполагаем, что и все единицы до Q-й были проданы так (на тех рынках), чтобы максимизировать выручку от продажи Q единиц."

Ну, в точке разрыва MR (Q=50) это определение будет относиться к пределу справа; а предел слева – это "сколько принесла продажа последней единицы ...". Во всех остальных точках пределы слева и пределы справа совпадают.
Общая выручка TR хоть и не дифференцируема в точке Q=50, но непрерывна во всех точках, поэтому в любой точке общая выручка есть площадь под нашим совокупным MR (в отличие от задачи "Непрерывность под прямым углом"). Например, считая таким образом площадь при $Q\in (50;52)$, мы учтём площадь под горизонтальным участком от y до 50, несмотря на то, что производя такое Q, мы совсем ничего не продаём на внешний рынок! Возможно, было бы более естественно в этом случае вместо площади под горизонтальным участком учесть сумму площадей двух трапеций. Но ведь эта сумма площадей как раз равна площади под горизонтальным участком (по построению точки Q=50), поэтому по большому счёту нам всё равно, каким из этих двух способов считать общую выручку. Но это при $Q\in (50;52)$. А вот при $Q\in (y;50)$ мы уже совершим ошибку, если вместо площади под горизонтальным участком будем считать площадь трапеций, т. к. получим выручку меньшую, чем на самом деле.

Пользуясь случаем, предлагаю обратить особое внимание на фразу:

"Рисуя MR при некотором Q, мы предполагаем, что и все единицы до Q-й были проданы так (на тех рынках), чтобы максимизировать выручку от продажи Q единиц".

Рассмотрим такой вопрос: "Пусть мы сначала продавали 49,99 единиц, а потом захотели увеличить объём продаж до 51. Насколько вырастет наша выручка?" Ответ – на $(51-49,99)\cdot w$, потому что весь прирост выпуска нам будет выгоднее продать на внешний рынок, а не как-то иначе (в этом можно убедиться, взглянув на рисунок из решения и дополнительно высчитав, что y=45, а x=48 – если я нигде не обсчитался). При этом было бы ошибкой, отвечая на этот вопрос, просто посчитать площадь под совокупным MR от 49,99 до 51, т. к. не выполняется предпосылка о том, что "все единицы до 51-й были проданы так (на тех рынках), чтобы максимизировать выручку от продажи 51 единицы": если мы уже продали 49,99 единиц на внешний рынок, то мы не можем на практике осуществить мысленный "манёвр", описанный в решении, т. к. мы не можем отобрать у покупателей с внешнего рынка эти 49,99 единиц, чтобы затем продать их на внутренний.
Зачем же нам нужен график совокупных MR? Он позволяет, совместив его с графиком MC, выбрать (совершенно стандартным образом – сравнивая площади) оптимальную точку, при условии, что мы ещё ничего не производили и не продавали.

Кривая MR всегда строится независимо от кривой MC (и потому не должен учитывать MC) - так же, как кривая спроса строится без учета кривой предложения (в модели совершенной конкуренции).
Я и не говорил, что MR зависит от МС. От МС зависит, выберем ли мы обслуживание только одного отечественного рынка или обоих. И вот это решение предлагаю принимать сразу учитывая и вид MR и вид МС, а не по отдельности, как предлагается в решении.
Мы находим оптимальный выпуск с помощью MR и MC. Чтобы построить MR не нужно знать оптимальный выпуск (MR определяется спросом). Чтобы построить MC, не нужно знать оптимальный выпуск (MC определяется технологией).
Григорий, а давай проще: чтобы работать на внутреннем рынке для обоих групп потребителей мы должны установить цену на уровне ниже точки излома суммарной кривой спроса. А это значит, что мы гарантированно "поимеем" весь провал MR, относящегося к внутреннему спросу, безо всякого его отсечения на уровне мировой цены.
Ну, положим, поимели мы весь провал. И что?
Ничего особенного, просто второго участка MR тогда быть не должно, о чем я и говорю.
Дмитрий, давайте проделаем следующий мысленный эксперимент. Предположим, что у монополиста есть ограничение по мощности (кривая MC - вертикальна, точнее, уголком). Предположим, что мощность понизилась с 54 до 49. Если пользоваться графиком, который Вы имеете в виду (если я его правильно понял), то ваша кривая MR "скажет" монополисту, что нужно уйти с внешнего рынка и не обслуживать вторую группу покупателей, а работать только на первом. График, который представлен в задаче, утверждает, что нужно прекратить продажи на втором рынке, но при этом остаться на внешнем рынке (что как раз соответствует максимуму прибыли). Другими словами, если использовать Ваш график MR, то максимум прибыли не всегда будет достигаться в точке пересечения MR и MC.
Эти рассуждения справедливы при выборе между двумя случаями, о чем я уже писал в самом начале. Просто считаю невозможным изображение "единой" MR, учитывающей и ситуацию "первый внутренний+внешний" (MR состоит из первого и второго участка, равновесие на втором) и "первый внутренний+второй внутренний+внешний" (MR состоит из первого, третьего и четвертого участка, равновесие на четвертом). Но поскольку в условии задачи за нас уже все решили и мы знаем, что работаем на оба отечественных спроса, то рисовать нужно именно второй вариант.
Так вот как раз "единая" MR и представлена. Она возможна и учитывает оба случая. MR не зависит от того, какой выпуск является оптимальным для монополиста. (Кривая спроса не зависит от того, какой выпуск окажется равновесным. Кривая MC для предприятия, состоящего из двух заводов, не зависит от того, какой суммарный выпуск для монополиста является оптимальным.)
Григорий, у меня такой вопрос по решению: величина выпуска от Q=Y до Q=50 уходит на экспорт??
Если да. То почему? Почему после верхней кривой спроса не идёт нижняя ? Ведь мы максимизируем MR?
Что-то я никак не врублюсь.
Если $Q\in(y;50)$, то (Q-y) идёт на экспорт. Если $Q\in(50;52)$, то на экспорт идёт ноль.
Максимизируем мы (выбирая, как распределить данное Q между рынками) скорее TR, а не MR.
Я тем хотел сказать MR при каждом Q.
а почему же все таки появляется "провал в середине" грубо говоря если у нас есть (если продлить нижний спрос) большее значение MR при тех же Q?
Попробуйте решить эту задачу наоборот. Возьмите те функции спроса, которые получаются в ответе. Постройте график общей выручки (при условии оптимального распределения выпуска между внутренним и внешним рынком), постройте график предельной выручки. Так, мне кажется, Вы лучше поймете, почему итоговый график MR устроен именно так.
А ну в принципе я понял.
Задача большая и в ней, как я понял, очень много полезных вещей. Поэтому решил попробовать с малого: построить кривые спроса на внутреннем рынке. Если что-то неправильно - напишите. Итак...
1. Двигаясь по оси OQ, видим, что сначала MR убывает, а, так как на рынке совершенной конкуренции линия MR горизонтальна, то продажи есть только на внутреннем рынке. Проведем прямую AG через отрезок AB (все - на рисунке). Угол OGA - альфа. Как известно, линия предельной выручки в два раза круче линии спроса (для монополии). Значит, нужно построить угол 2 альфа.
Для этого отложим вправо от точки G по оси OQ отрезок, равный OG: GH = OG. Соединим точки A и Н, AH - спрос одной группы потребителей (той, у которой эластичность по модулю меньше - я этот вывод тоже опущу). Получается, зеленая линия - это спрос одной группы на внутреннем рынке (то что эта линия проходит через С, возможно, случайность, но строил я довольно точно (через фотошоп))
p1.jpg

2. А вот дальше я не уверен в своих выводах еще больше, но все-таки напишу.
Мы видим, что следующий наклонный участок MR - это DE. Значит, проведем линию IJ через DE до пересечения с осями - это линия предельного MR, но, так сказать, экономически она существует только при Q>=50. Ну и строим спрос также как и прежде. Получается IK - кривая совокупного спроса. Но, я не могу правильно поставить на нее ограничение. И еще с этими маневрами немного запутался, но это отдельная тема. Вообщем, кто может, скопируйте мой рисунок и поверх него нарисуйте правильную кривую совокупного спроса на внутреннем рынке.
p2.jpg

Фраза "Значит, нужно построить угол 2 альфа" неверная.
Построения спроса идейно верные, разве что рисунок тут схематичный (расстояние от 0 до 50 почти такое же, как от 50 до 52).
А зачем вообще рисовать кривую спроса?
Да, два альфа там будет только при малых углах (из приближения о том, что угол в радианах равен его тангенсу и синусу), а тут тангенс в два раза меньше нужен. Это понятно.
Зачем рисовать спрос? Просто когда не знаешь с чего начать, нужно начать с начала. (на самом деле я просто по фотошопу соскучился :) )
И все-таки, может ты скажешь, какой вид на самом деле имеет кривая совокупного внутреннего спроса?
Из условия задачи следует, что функция внутреннего спроса непрерывна и состоит из двух линейных участков. Поэтому как только ты нарисовал два её кусочка с разными наклонами, сразу можешь восстановить её всю. Если бы MR был нарисован точно, то кривая внутреннего спроса совпадала бы с левым участком твоей зелёной кривой и правым участком желтой (разделёнными точкой пересечения зелёной и жёлтой кривых), но тут MR нарисован не точно, и всё портится: MR должен скакнуть как раз в точке пересечения зелёной и жёлтой, а тут он продолжает падать в этой точке.
Можешь попробовать нарисовать MR точно (взяв цифры из решения), и восстановить тогда кривую спроса.
Ага, вот поэтому я и сомневался. Если просто объединить их на рисунке, то появятся еще части, в которых фирме было бы прибыльнее торговать на внутреннем рынке.
Гриша, тогда у меня вопрос по поводу маневра. Сама идея мне ясна, только вот я не понял, почему в пункте 3.1.1 такие вычисления.

Нам нужно выразить TR. Графически это площадь под графиком MR. Тогда без маневра это будет вот так:
1.jpg

А с маневром:
2.jpg
Насчет Y все понятно, но, по-моему, то что написано в решении не подходит для площадей вышеобозначенных фигур.

Кстати, есть одни вопрос, не по задаче. Допустим, что есть фирма монополист и известен ее спрос Q=a-bP, а также MR = c. И нам нужно найти объем, максимизирующий выручку. Почему нельзя делать так: MR = TR` = (aP - bP^2)` = a - 2bP = c, значит P = (a-c)/2b и Q = a - (a-c)/2
А нужно делать именно так: MR = c = (P*Q)` = ((aQ - Q^2)/b)` = (a - 2Q)/b и уже отсюда искать Q.
Почему, по-моему, правильный первый пункт? Потому что MR это тоже цена, цена, которую получает продавец от реализации конкретной единицы продукции. Если мы идем по первому пути, то у нас цена равна цене, а по второму: цена равна количеству.

Я в решении использовал то, что TR(Q)=P(Q)Q, а можно, как ты, используя, что $TR(Q)=\int\limits_0^Q MR(t)dt$. Результаты должны получиться одинаковые.

По второму вопросу: MR - это изменение выручки при росте количества на единицу, а не при росте цены на единицу - это разные вещи. MC - это изменение издержек при росте количества на единицу.

Да нет, через интеграл я не собирался искать. Просто ведь все, что ты пишешь, можно представить на графике. Но я все равно не пойму. Обратимся к графику "без маневра". Площадь трапеции можно посчитать, как P*Q, но ведь прямоугольник, то есть то, что мы получаем от торговли на внешнем рынке, так посчитать уже нельзя, потому что цена не будет зависеть от объема или я что-то не понимаю?

По поводу отдельного вопроса: то есть получается второй вариант правильный?

Наверно самая сложная задача из тех, что я видел в нашем курсе :)
Это был заочный тур :) Нужно было отсеять талантливых и трудолюбивых ребят от вузовских репетиторов.