Задача
Раздел
Темы
Сложность
Голосов еще нет
30.11.2009, 01:16 (Данил Фёдоровых)
26.05.2015, 17:25
26.05.2015, 17:25
(0)
В 2007 году произошло слияние двух компаний ABC и XYZ. Совокупные издержки производства товара согласно технологии фирмы ABC имеют вид $$\operatorname{TC}^{ABC} (Q) = \left\{ \begin{gathered} 0, \text{ если } Q = 0 \hfill \\ 100 + 10Q, \text{ если } Q > 0\; \hfill \\ \end{gathered} \right,$$
где $Q$ — выпуск продукции. Компания XYZ имеет другую технологию производства того же самого товара, согласно которой совокупные издержки производства имеют вид $TC^{XYZ}(Q)=Q^2$, где $Q$ — выпуск продукции. В результате у объединенной компании имеются в распоряжении обе технологии производства и она может распределять производимую продукцию в любой пропорции между этими технологиями.
где $Q$ — выпуск продукции. Компания XYZ имеет другую технологию производства того же самого товара, согласно которой совокупные издержки производства имеют вид $TC^{XYZ}(Q)=Q^2$, где $Q$ — выпуск продукции. В результате у объединенной компании имеются в распоряжении обе технологии производства и она может распределять производимую продукцию в любой пропорции между этими технологиями.
Найдите минимальные издержки производства 12 единиц готовой продукции для объединенной компании.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Пусть мы производим только по первой схеме. (АВС). Тогда $ ТС=220 $. Если только по XYZ, то $ ТС=144 $.
Предположим, что мы "миксуем". Прозводим Q1 на первом заводе, и, следовательно, 12-Q1 на втором. Тогда ТС=100+10*Q1+(12-Q1)2, возьмём производную, получим Q1=7 и $ TC=195 $.
Значит, оптимально производить всё на XYZ.
Норм описание?
Поскольку $X$ положителен, то графиком будет одна ветвь параболы. Причем функция возрастающая на области определения. Производная $2Q$
Вторая функция: $TC2=10Q+100$ - линейная возрастающая функция. Производная равна $10$
При малых $Q$ $TC1$ меньше $TC2$ (производить по $TC1$ выгоднее), но при определенном $Q$ $TC1$ станет больше(производить по $TC2$ выгоднее).
Найдем то самое Q, при котором TC1 догонит TC2(пересечет ее):
$Q^2=10Q+100$
$-Q^2+10Q+100=0$
$Q=(-10-10*5^{0.5})/-2=5(1+5^{0.5})$, что больше 12.
Значит, производить по $TC1$ при $Q=12$ выгоднее.
$TC1(12)=144$.
$MC_{ABC}(Q_{ABC})=2Q_{ABC}$
$MC_{XYZ}(Q_{XYZ})=3Q_{XYZ}+1$
Какой бы у вас интервал общего Q получился?
Если же MC переменные на обоих заводах, то неравенство по типу вашего даст не определенное Q одного из заводов, а неравенство относительно обоих Q. Правильным будет разделить производство так, чтобы это неравенство было равенством (в моем примере выше это $2Q_{ABC}=3Q_{XYZ}+1$), к чему нас приводят стандартные рассуждения по типу: «если MC на двух заводах разные, то перекинем чуть-чуть единиц с того завода, где последняя единица дороже, туда, где дешевле, и общие издержки станут меньше».
Нужно, однако, проверить и угловые решения — ситуации, гле на одном из заводов ничего не производится (ну или описать условия, при которых этих угловых решений точно быть не может, но это несколько сложнее). В этой задаче угловое решение $Q^{ABC}=0$ проверять нужно обязательно — ведь в нем MC завода ABC не определены (они не равны 10, как в остальных точках, так что сравнение двух MC, проведенное выше, не учитывает эту точку).
А как при таком раскладе для монополии с 2-мя, 3-мя и более заводами, ведь там же именно $MC(Q)$ анализировать надо (то есть если $MC_{1 завода}$, $MC_{2 завода}$ и т.д. нелинейные для монополии), как в таком случае $MC_{общ}(Q)$ задавать, системой, как в моем комментарии выше, и рассматривать прибыль, ну или сами $MC(Q)$ уже на каждом из промежутков??
Что касается всех прочих случаев (в том числе общего случая с двумя заводами, не важно, какая рыночная структура), то я ничего не понял из вашего второго абзаца, но правильным будет алгоритм выведения общей функции TC(Q), описанный мной выше.
Пойду вникать в это всё, если возникнут вопросы, то напишу.
Если же рассмотреть такой вариант, что по первой технологии производить больше пяти, к примеру 6, то выгоднее станет произвести дополнительный товар по 2й технологии и 5 по 1й(если 6 по 1й, то $изменение TC=36$, а если 5 по 1й и 1 по второй, то $изменение TC=10+25=35$). Также можно посчитать, что при 7,8,9 и т.д выгоднее станет производство 5 продуктов по 1й технологии и остальных по второй, чем все по 1й.
Если рассмотреть такой вариант, что по первой технологии производить меньше 5 (например 4), то можно посчитать, что изменение в TC при производстве дополнительных 4 единиц по 1й технологии и 1 единицы по 2й ($16+10=26$) больше, чем при производстве 5 единиц по технологии 1($25$).
Следовательно, использование 1й технологии наиболее выгодно при выпуске 5 по этой технологии, а 2я технология имеет постоянную производную, а значит, одинаково выгодна при любых объемах выпуска по данной технологии.
Но это все была речь про большие значения общего выпуска, а при малых объемах не выгодно использовать 2ю технологию в связи с большими постоянными издержками. Выгоднее использовать при этом 1ю технологию на весь объем выпуска. Необходимо найти ту точку, до которой выгодно производить по 1й технологии.
$Q^2=25+10(Q-5)+100$
$Q^2=10Q+75$
отсюда положительное $Q=15$, следовательно, после 15 можно пользоваться схемой: 5 ед.продукции по 1й технологии, остальное по 2й.
Вот что у меня получилось. Так ведь можно рассуждать?
1) чтобы "включить" вторую технологию, нам придется заплатить 100.
2) пусть этих издержек включения нет. построим "обычную" МС для двух заводов.
3) вспомним п.1. Это значит, что переключаться на завод с МС 10 стоит в той точке, где ТС от технологии $Q^2$ больше, чем ТС от технологии двух заводов ровно на 100. Обозначим этот объем через Q*
4) всякий объем меньший Q* выгодно производить технологией $Q^2$, а всякий больший - обычной технологией монополиста на двух заводах.