Неравенство между дуговой и точечной эластичностями

$$\text{Вариант 1.1 Функция возрастающая}, 1 \gt K \gt 0.$$
Тогда $Q'(P)=\frac{\Delta Q}{\Delta P}$ $E^s_p=\frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P_1}{Q_1}=k$
$$E^s_p=\frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P_1}{Q_1} \lt 1$$
$$Q_2 \cdot P_1 \lt Q_1 \cdot P_2$$

Теперь докажем, что дуговая эластичность при этих условиях $\in [0;k]$
Понятно почему Эластичность $\geq 0 $так как $p \geq 0$ $Q \geq 0$ $Q'(p) \geq 0$ Для возрастающих функций.

$$\text{Пусть} \ \ E_{дуг}< K $$ $$\frac{(Q_2-Q_1) \cdot (P_1+P_2)}{(P_2-P_1) \cdot (Q_1+Q_2)}-\frac{\Delta Q \cdot P_1}{\Delta P \cdot Q_1} \lt 0$$ Решаем это неравенство. Получаем $$P_2 \cdot Q_1 \lt P_1 \cdot Q_2$$ Но $$Q_2 \cdot P_1 \lt Q_1 \cdot P_2$$ Противоречие. Значит $E_{дуг} \in [k;x]$ Выясним чему может быть равен x. Пусть x >1 Решим неравенство $$\frac{\Delta Q \cdot (P_1+P_2)}{\Delta P \cdot (Q_1+Q_2)} \gt 1$$ Получаем противоречие с условием, что $$Q_2 \cdot P_1 \lt Q_1 \cdot P_2$$.

ТАКИМ ОБРАЗОМ. Если у нас возрастающая функция $1 \gt K \gt 0.$, то $$E_{дуг} \in [K:1]$$
!Заметим также, что если точечаня эластичность <1 = k, то и дуговая <1, но больше K

$$\text{Вариант 1.2 Функция возрастающая}, K \gt 1.$$
$$E^s_p=\frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P_1}{Q_1} \gt 1$$
$$Q_2 \cdot P_1 \gt Q_1 \cdot P_2$$
решим неравенство $$\frac{\Delta Q \cdot (P_1+P_2)}{\Delta P \cdot (Q_1+Q_2)} \lt 1$$
Получаем противоречие. Таким образом значение дуговой эластичности для данного случая $\in [1:x]$
$$\text{Пусть} \ \ E_{дуг}< K $$ $$\frac{(Q_2-Q_1) \cdot (P_1+P_2)}{(P_2-P_1) \cdot (Q_1+Q_2)}-\frac{\Delta Q \cdot P_1}{\Delta P \cdot Q_1} \gt 0$$ Значит $$E_{дуг} \in [1:K]$$
!Заметим, Если точечная эластичность >1 = k, то и дуговая >, но меньше K

$$\text{Вариант 2.1 Функция убывающая}, K \lt -1.$$
Сделав все вычисления, как и в прошлые разы получим $$E_{дуг} \in [K:-1]$$
$$\text{Вариант 2.2 Функция убывающая}, K \gt -1.$$
Сделав все вычисления, как и в прошлые разы получим $$E_{дуг} \in [-1:K]$$
Ч.Т.Д