Зайцы и общественное благо

Решение пункта г)
Рассмотрим i-го зайца и будем рассуждать от его лица.
Будем в качестве исходной ситуации рассматривать $v_i=u_i$ и смотреть, что будет, если завысить или занизить $v_i$.
Обозначим $T=\sum\limits_{i=1}^n v_i$ (от слова total), $R=\sum\limits_{j\neq i} v_j$ (от слова rest), $U_i$ — моя итоговая полезность. $U_i=u_i\cdot I(\text{учебник покупается}) -P_i\cdot I(\text{я решающий})$

Разделим все случаи на две группы: в исходной ситуации я решающий или нет.

1) В исходной ситуации я не решающий. Это возможно в двух случаях: $T\le C$ или $R>C$

1а) $T\le C$
В этом случае исходное $U_i=0$.
Если занизить, ничего не изменится.
Если завысить так, что по-прежнему будет $T\le C$, то ничего не изменится.
Если завысить так, что я стану решающим, то буду платить C-R, тогда $U_i=T-R-(C-R)\le 0$, т.е. полезность или упадёт (в случае $T < C$), или не изменится (в случае T=C).

1б) R>C
При любом $v_i$ учебник покупается, я плачу ноль. Т.е. завышение или занижение ничего не изменит.

2) В исходной ситуации я решающий. Т.е. $R\le C< T$
Тогда $U_i=T-R-(C-R)=T-C>0$
Если завысить, ничего не изменится.
Если занизить чуть-чуть, ничего не изменится.
Если занизить так, что учебник перестанет покупаться, то получу $U_i=0$ — т.е. станет хуже.

Таким образом, ни в одном из возможных случаев заяц не смог бы повысить свою полезность, отклонившись от стратегии "говорить правду", и в некоторых услучаях такое отклонение может привести к снижению полезности; при этом заяц, когда принимает решение, не знает, в каком из случаев он окажется (т.к. это зависит от $v_j$ остальных зайцев, которые ненаблюдаемы). Поэтому при любых разумных предположениях о том, как устроены предпочтения зайца с учётом неопределённости, в этих условиях для него будет оптимально выбрать стратегию "говорить правду".