Существует ли такая функция спроса, у которой предельный доход равняется цене при каждом объёме выпуска?
Если да, то найдите все такие функции, а если нет, то докажите почему.

Дополнительный вопрос: правда ли, что значение предельной выручки при каждом уровне выпуска не больше, чем цена при том же уровне выпуска?

Комментарии

Как насчёт P=a ( как вариант) =)
Да. Я больше найти не смог. Хотя времени потратил не очень много, если честно. Но зато у меня есть чёткое доказательство, что больше нету.

ОК, а если теперь отвлечься от математики. Ещё придумаешь?

я написал доказательство внизу.
Как насчёт этого . $$MR=P(1+\frac{1}{E})$$ утверждение , что $P=MR$ говорит нам о том, что
$$(1+\frac{1}{E})=1$$
$$\frac{1}{E}=0$$ ) Ну это невозможно , если конечно E не равна бесконечности, как в случае P=a.

P.S Выводить верхний факт не охота, думаю все умеют. Если нет говорите, напишу как.

Потружусь за тебя =)
$ TR = P(Q) \cdot Q $
Обозначим $ P(Q) $ за $ P $.
$ TR = PQ $
$ MR = (PQ)' = Q \cdot \frac{\delta P}{\delta Q} + P = P[1+ \frac{\delta P}{\delta Q} \cdot \frac{Q}{P}] = P[1+E^d_Q] = P[1+\frac{1}{E^d_P}] $
спасибо.Просто не очень люблю в LaTex вводить формулы, а без него некрасиво получается))
А еще придумайте интуитивное объяснение тому факту, что при убывании спроса $P(Q)>=MR(Q)$.
Через производную вроде можно, или это недостаточно интуитивно?:)
P - средняя величина , MR - предельная , чтобы P упало , надо , чтобы MR упало еще сильнее , доказательство не просите , а то не интуитивно получится
И в правду, если средняя величина убывает,то предельная меньше средней)
на самом деле острый вопрос, требующий определения того, что мы считаем предельной выручкой.
Но самое банальное интуитивное объяснение, видимо, заключается в том, что, продавая дополнительную единицу по сниженной цене, монополист вынужден снизить цену и на все предыдущие единицы, поэтому прирост выручки будет меньше, чем цена, по которой продана дополнительная единица.
мы тут привязались к предельной выручке, как p*MR, но в общем случае это не так, вообще любая функция, при дискриминации 1 степени удовлетворяет условию равенства. мы совершаем неправомерный переход, переходя к произведению и дифференцируя его :)
ВОТ!
Это и есть то "экономическое решение", которого я ждал)
Я лично когда сам на свои вопросы отвечал, в пример приводил функцию $ Q_{d} = a - e^P $. Может, натолкнёт на идеи.
Хотя и так понятно, что играться надо с логарифмическими функциями.
Дан, я не понял, вроде ты сказал, что больше таких функций нет.
Я сказал что я больше не нашёл =)
Ну, я придумал абсолютно эластичную, и экономическое решение - абсолютную дискриминацию. Поэтому, собственно, и скинул её сюда, чтобы "маэстро логики" подсказали)
А от этой функции я начал когда искал $ MR(Q*) > P(Q*) $.
Ну, теоретически можно сказать, что для функции
$$P=A\pi+sin(\pi 2nQ)-\pi 2nQ$$ где А - произвольная положительная константа
$P'=0$ выполняется при$$ Q=\frac{k}{n}$$ где $k=0,1,2,3,4,5...\infty$
Поэтому если мы устремим $n$ к бесконечности, то получится, что $P'=0 $ выполняется в любой точке, т.к. период бесконечно мал.
а что такое n? это наперед заданная константа, то есть ноль будет только в конечном числе точек, где спрос неотрицателен. и не надо так смело говорить о бесконечно малых, даже если бы мы где-то и получили период - это всего лишь счетное множество, тогда как мощность отрезка - континуум.
К сожалению анализом таких вещей я пока не владею, может и к счастью) а слово континуум наводит лишь на мысли о фильме "Назад в будущее" ) n - да, константа. Т.е. суть в том что условие всё равно будет выполняться в конечном числе точек?
ну в общем да)))
Ты же всё равно подставляешь какое-то конечное число вместо n, ты же не можешь "подставить бесконечность". Но, увеличивая n, можно сделать число точек P=MR сколько угодно большим.
Счётное множество - для которого можно построить взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел (между элементами одного и другого). Например, множество целых чисел - счётное. Множество рациональных тоже счётное, а вот множество действительных чисел не является счётным. Континуум - множество, для которого можно построить взаимно-однозначное соответствие с множеством действительных чисел. Например, отрезок [0,1] - континуум.
В экономике несчётность континуума пригодится, например, тогда, когда ты задумаешься о предпочтениях, не представимых функцией полезности.
Кажется я понял даже про континуум. Вспоминается ситуация, где каждой точке дуги окружности соответствует точка на луче.
Спасибо!
ага, и даже отрезок "равен по мощности" квадрату :)
с виду не скажешь))
Вообще начала теории множеств, наверное, опережают другие разделы математики по показателю удовольствие делить на трудоёмкость. А учитывая повсеместное их использование в математике, я бы посоветовал после всероса заняться именно ими.
согласен, очень доступно написано в Колмогорове, Фомине "Функциональный анализ", да и уровень приличный))))
а там не скучно? всё-таки по этой теме существует много отдельных книг в жанре занимательной математики - в них поди веселее будет
не, с примерами, с доказательствами, весьма так строго, да и весело довольно)) я за чистоту науки)))
как насчет возрастающей функции спроса на товары гиффена?
там MR>P почти всегда.
Мне этот случай позавчера в голову пришёл :)
А ты сможешь сходу назвать товар Гиффена, что так легко описываешь это свойство?
ну так один в истории было, так что можно мой комментарий не принимать во внимание :)

черный хлеб, бедное население, 70% расходов - на этот товар. цена повышается, но на все остальные товары (далекие субституты) цена вообще огромна, то есть на остальные 30% население покупало одну картофелину в праздник или раз в год ели котлету 31го декабря. Когда цена на хлеб растет, и покупать его столько же на ту же сумму невозможно мы отказываемся от праздничной картошки и котлет и начинаем ВЕСЬ свой доход тратить на черный хлеб.

этакий мини-экскурс в школьный учебник для тех, кто не понимает, о чем мы говорим. Соответственно, на хлеб тратят заметно больше денег и Q растет с ростом его цены.

Это не благо Гиффена :)
А что здесь собственно для тебя благо Гиффена?
Да ладно вам, разговор о том, что на некотором участке спрос может возрастать да и только, гипотетическую ситуацию человек вам привел, а вам статистические данные нужны?)
Ну раз есть утверждение что такое возможно, прошу привести пример)
Мы ведь всегда пытаемся экономический смысл понять. Даже в задаче, когда одно благо заменяет другое, а второе первое - нет. =)
wikipedia
Не верю.
=)
Сурен, перейди по ссылке для начала)
Ребят что-то я согласен с Даном по-моему в википедии не совсем правда... Просто читая я наткнулся на следуещее предложение: Товар Гиффена — это товар, потребление которого (при прочих равных условиях) увеличивается при повышении цены(то есть, эффект дохода от изменения цены перевешивается действием эффекта замещения)
Если я нечего не путаю то вроде бы эффект замещения должен перевешиваться эффектом дохода. Где я не прав?
У Вас есть возможность помочь планете, исправив эту статью в википедии.
А вообще советую читать википедию на английском.
Исправил :)Но теперь еще один вопрос вроде насколько мне известно существование Парадокса Гиффена ставится под сомнение?
Вот ещё возможность помочь планете: http://ru.wikipedia.org/wiki/Эластичность_(экономика)
Эластичность вообще по царски написана :)
Главное суть извлечь, а находить ошибки - даже полезно)

Evidence for the existence of Giffen goods has generally been limited. A 2002 preliminary working paper by Robert Jensen and Nolan Miller of Harvard University made the claim that rice and wheat/noodles are Giffen goods in parts of China by tracking prices of goods. A further 2007 working paper by the same authors (now published in the September 2008 issue of American Economic Review) experimentally demonstrated the existence of Giffen goods among humans at the household level by directly subsidizing purchases of rice and wheat flour for extremely poor families

Например, приписав, что их "товар Гиффена" нифига не товар Гиффена на самом деле)
Дан, читай на английском, когда ты уже угомонишься?))
Да потому что это множество равновесий, а не единый спрос!
Спрос менялся в зависимости от изменения доли расходов на это благо.
Наверное, есть что-то рациональное в таких мыслях, но так однозначно я бы не стал заявлять, всё-таки кто-то статистикой занимался по этому делу,а мы по двум точкам будем судить, им лучше знать, а то что существование таких товаров в принципе ставится под сомнение, я тоже где-то читал.
А я знаю такой товар))
При некоторых предположениях.
Мне кажется сам товар тут не так уж важен , в какую сторону ты глядишь?Если парадокс Веблена взять, то там тоже факторы влияют не на движение по спросу а на движение самого спроса.
Можно еще взять спрос на валюту и как цену принять обратный курс, тогда спрос растет, но это очень условно выглядит.

Нет, нет, знаю, ты щас скажешь, есть такой товар, т.н. товар "имени ТОВАРища Затоварского" ))

Оцените, что на картинке в википедии кривые безразличия вот-вот пересекутся :-)
Абсолютно согласен с вами обоими!:) Но все таки само существование парадокса Гиффена ставится под сомнение так ли это?
Да я это хотел написать что проще говоря при рассмотрении товара Гиффена при изменении цены меняется структура спроса, иными словами мы уже не на изначальной кривой спроса(сам спрос меняется).
Стандартная модель такова: для потребителя в конечном счёте имеют значения только количества потребляемых благ, а цены важны лишь постольку, поскольку от цен зависит множество, из которого потребитель волен выбрать себе комбинацию товаров. И в этой стандартной модели теоретически возможна ситуация, когда при росте цены некоторого товара увеличивается его потребление. Но в жизни вполне может быть, что нет людей с таким сочетанием предпочтений, дохода и имеющихся цен, и ничего страшного, если в жизни этот эффект не наблюдается. Кроме того, он может существовать на индивидуальном уровне, но отсутствовать на рыночном уровне: у одного человека объём спроса растёт, зато у других падает, и объём рыночного спроса падает.

Если же сами цены имеют значение для потребителя (чем дороже моя тачка, тем я круче), то тут тем более очевидно, что потребление может расти при росте цены. Но это, насколько я понимаю, уже нельзя назвать эффектом Гиффена.

У Нуреева (вряд ли, конечно, его классификация) это кличут вроде как одним из видов нефункционального спроса и именуют эффектом "показательного потребления" или чем-то в том же духе. Вроде как действительно не благо Гиффена.
Понял,спасибо!