Здравствуйте, дорогие Друзья! Это снова я с информацией для раздумья.
Сегодня предлагаю Вам подумать вот над чем: "товары-заменители". Хм, а не бывает ли так, что один товар является заменителем для другого, а обратное утверждение неверно? Если бывает, то постарайтесь привести пример таких предпочтений (или задайте их функцией полезности) и дайте интерпретацию. Если нет, то докажите это.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
P.S. я в одной теме писал что мне кажется, что "формулировка "товар A для товара B - заменитель" неверная или неполная потому как такое свойство им придает способность удовлетворять потребности одного вида, которые, в свою очеред у всех разные, а значит в этой формулировке необходимо указать субъект потребностей или саму потребность. Пример : для одноногого человека два носка являются не абсолютными комплементами, а заменителями. ?"Может я не прав?
Если же говорить про заменители в удовлетворении одной и той же потребности, то, мне кажется, что тут обратная связь необходима.
А почему тебе так кажется? Есть ли какие-то мысли?
Впринципе, у нас же есть 5 уравнений, связывающих 8 величин $ \mu_{1} ; \mu_{2} ; E^{q_{1}}_I ; E^{q_{2}}_I ; E^{q_{1}}_{p_{1}} ; E^{q_{2}}_{p_{1}} ; E^{q_{1}}_{p_{2}} ; E^{q_{2}}_{p_{2}} $. Первые 2 величины - доли расходов на благи $ q_{1} ; q_{2} $ соответственно.
При $ E^{q_{i}}_I = 0 $ возможен случай, когда $ E^{q_{2}}_{p_{1}} > 0 $, а $ E^{q_{1}}_{p_{2}} < 0 $.
И, судя по всему, это должны быть квазилинейные предпочтения $ U(q_{1};q_{2}) = q_{1} + v(q_{2}) $.
Т.к. предпочтения квазилинейны, то монотонным преобразованием мы можем привести их к выпуклым, тогда оптимум потребителя будет определяться законом Госсена $ \frac{MU_{1}}{MU_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} $
$ \frac{1}{v'(q_{2})} = \frac{p_{1}}{p_{2}} $
$ v'(q_{2}) = \frac{p_{2}}{p_{1}} $
$ q_{2} = (v')^{-1}[\frac{p_{2}}{p_{1}}] \Rightarrow $ вполне возможно, что $ E^{q_{2}}_I = 0 $.
А так всё ок, осталось только подобрать нужную функцию v, и получим, что $q_2$ растёт по $p_1$, а $q_1$ падает по $p_2$.
Это имелось ввиду для квазивогнутых функций))
Да, Дим, я уже примерно понял, в какую сторону капать. Вечером приду - доделаю.
представь, что решив задачу максимизации полезности, ты получил 2 функции спроса - $X_1$ и $X_2$. Если ты подставишь функции в бюджетное ограничение, то получишь некоторое тождество (считаем, что доход весь тратится). Так вот, его можно дифференцировать по ценам. Пусть товар $X_2$ вообще не реагирует на изменение цены $X_1$. Попробуй что-нибудь получить из этого.
Распишу нахождение спроса по полной катушке.
$ U(x_{1};x_{2}) = ax^{0.5}_{1} + x_{2}; a > 0 $
Можно через матрицу вторых производных.
$$ H = \binom{-\frac{a}{4x^{1.5}_{1}};0}{0;0} $$
Мы видим, что $ \frac{\partial^{2}U}{\partial{x^{2}_1}} < 0 $, а остальные значения зануляются, значит функция квазилинейная, одно из оптимальных касаний красивое (не угловое).
Тогда можем воспользоваться вторым законом Госсена. К тому же ответу можно прийти если пойти через $ I = p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{I-p_{2}x_{2}}{p_{1}} $.
Получим $ \frac{a}{2x^{0.5}_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} $
Тогда спрос на первое благо $ x_{1} = \frac{a^{2}p^{2}_{2}}{4p^{2}_{1}} $. Видно, что $ E^{x_{1}}_I = 0 $.
$ x_{2} = \frac{4p_{1}I - a^{2}p^{2}_{2}}{4p_{2}p_{1}} $. Забудем про угловое решение при $ I \leq \frac{a^{2}p^{2}_{2}}{4p_{1}} $.
Если увеличивается $ p_{1} $, то уменьшается $ x_{2} $. Если же увеличивается $ p_{2} $, то растёт $ x_{1} $. Тогда для первого блага другое может быть дополнителем, а второе для первого - заменителем. Ну или как - то так. Но эффект, который Дима хотел "из нас получить", налицо :)
В чём экономический смысл этого всего? Если отвлечься от конкретного примера, который привёл Тимур и дополнил Гриша?
Ну а интерпретацию я уже приготовил. Теперь жду ее от вас.
Наверное, можно восстановить функцию через тождество Роя, или лемму Шепарда, не помню какая применяется в данном случае... Но не осилил.
Я через производную посмотрел, там правда может быть, что $ \frac{\delta{x_{2}}}{\delta{p_{1}}} < 0 $. Или нет?
В любом случае, функция с логарифмом проще :)
Есть функция попроще (на мой взгляд).
$ U = x_{1} + lnx_{2} $
$ x_{1} = \frac{I}{p_{1}} - 1 $
$ x_{2} = \frac{p_{1}}{p_{2}} $
Одно благо нечувствительно по цене другого, а у одного $ p_{1} $ растёт, тогда и $ x_{2} $ растёт. Это товары - субституты.
Возможно, это происходит потому, что у нас есть "определяющее благо" $ x_{1} $, которое мы покупаем независимо от ситуации на рынке по второму товару. Например, этот товар может быть чем - то сильно необходимым (но тем не менее мы готовы его не покупать при некоторых условиях), т.е. это может быть дорогой необходимый товар. В то же время спрос на второе благо является "остаточным", все оставшиеся деньги мы тратим на $ x_{2} $, поэтому, возможно, $ x_{2} $ чувствителен по $ p_{1} $.