Коля Штык с детства увлекается военной тематикой, в частности он обожает чертить карты военных действий и рисовать танки времен второй мировой войны. Предпочтения Коли в изображении $X$ чертежей и $Y$ рисунков задаются функцией полезности $U=XY^2$. Для создания одного чертежа требуется 1 рубль, для создания рисунка - 2, у Коли в наличии имеется 9 рублей.
1) Всем известно, что Штык молодец. Определите, сколько рисунков и чертежей он решит нарисовать.
2) Коля всегда мечтал стать героем боевых действий, чтобы, украсив свою старенькую красную курточку блестящими боевыми наградами, приковывать к себе внимание всех знакомых девочек на детской площадке (одна медаль способна привлечь к Коле взор одной девочки). И конечно же, он хотел бы иметь как можно больше таких медалей и орденов. В одном подъезде с Колей живет Алена Пуля, у которой в серванте лежит огромное количество старых дедушкиных медалей. Все жители подъезда знают, что Пуля дура, и никто не удивился, когда в один прекрасный день на доске объявлений появилась заметка, гласившая, что некто Алена П. готова продать любое количество медалей по цене $P$ рублей за штуку. Если Коля еще не успел потратить свои 9 рублей, то сможет ли он найти себе хоть одну подругу на площадке? Наличие возможности покупать медали заставило его детальнее подумать о структуре своих предпочтений, и теперь он точно уверен, что его предпочтения можно задать следующей функцией: $U=xy^2 + D$, где $D$ - количество девочек, засмотревшихся на него на площадке. Сколько чертежей и рисунков он при этом изготовит?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Но я только не совсем понял что приносят Коле медальки, кроме необузданного взора принцесс?
А в своем решении я приравнивал себестоимость рисунков и чертежа к медали. но все это ограничено конечно и получилось у меня что денег у него хватит только на две медали.
возьмем частную производную по X и по Y, скажем, что $\frac{2xy}{2} = \frac{y^2}{1}$
x=3; y=3
насчет второго пункта у меня есть мысль, что, если P >(=) 1/3, то все деньги вложит в чертежи и рисунки, а если меньше, то потратит все деньги на медали Алены
мы ведь здесь рассматриваем дискретные товары?
в целом, идея Алисы верна.
Кстати, здесь, применив стандартный прием, можно обойтись и без частных производных. Само деление задачи на пункты подсказывает, что им можно воспользоваться.
Впрочем, если оптимум является целочисленным, то все хорошо, конечно для непрерывной функции :)
Да-да, непрерывность и дифференцируемость предполагаются, иначе как мы в вещественном случае использовали производные.
Сначала рассмотрим одномерный случай (функцию на прямой). Если в какой-то целой точке значение функции больше, чем в двух соседних, то в интервале между этими соседними точками обязательно найдётся точка локального максимума (функции, определённой на всей прямой, а не только в целых точках). (Разумеется, мы предполагаем непрерывность функции).
Если же у нас появляется дополнительная степень свободы, то всё меняется. Представьте себе гребень горы, который проходит лишь через одну точку с целыми координатами, а при приближении к другим целочисленным точкам быстро переходит в подножие. Тогда эта единственная точка может быть глобальным максимумом среди целочисленных точек плоскости, однако среди высоких точек гребня ничем не выделяться: не быть ни глобальным, ни даже локальным максимумом.
Я раньше не задумывался об этом.
Как я понял, хитрость большего количества измерений заключается в том, что мы можем коварно проводить ограничения, из-за чего допустимыми останутся где-попало расположенные целочисленные точки, и оптимум поневоле тоже переедет куда попало.
Я утверждаю следующее.
Пусть функция f непрерывна.
1. Рассмотрим одномерный случай (функция одного аргумента). Если для некоторого целого $x$ $f(x)>f(x-1)$ и $f(x)>f(x+1)$, то в интервале $(x-1,x+1)$ функция f имеет локальный максимум.
Таким образом, если наша цель - найти целочисленный оптимум, мы можем ограничить поиск целыми точками, ближайшими к локальным максимумам.
2. Для двумерного случая ничего такого не верно.
И да, наличие ограничений, которые могут проходить хитро, может уводить оптимум далеко от критических точек, найденных при непрерывном анализе.
Но все же при безусловной оптимизации таких патологий не будет (хотя оптимум все равно может перескочить далеко - в окрестность другого локального максимума).
Правда, совсем-совсем безусловная оптимизация редко встречается в экономике.
У меня сразу много вопросов.
Во-первых, хотелось бы от вас строго услышать, почему же в первом пункте к указанной функции можно относиться как к функции полезности?
Во-вторых, как же вы все-таки решали 2-ой пункт? Скажу по секрету, что у Алисы ответ правильный. Но ответ в этой задаче - это далеко не все. Вот на решение поглядеть - это важно.
К товарам можно относиться как к делимым (просто медальки ко мне пристали). Но, в любом случае, можно использовать то, что написал Леша.
сколько рис. и чер. нужно ему для этого? 9/P должны быть больше или равно XY^2.
нам нужно оптимально потратить каждый рубль
1)допустим, что цена Алены больше(=) 1/3. тогда нам невыгодно вкладываться в ее медали. каждый рубль, потраченный на медали Алены, принесет менее, чем 3 U, в то время как если вложить все деньги в чертежи и рисунки, на каждый рубль будет приходиться больше U, а именно 3 U. компановка не имеет смысла, т.к. вкладывая что-либо в медали, мы в любом случае потеряем
2) допустим, что цена Алены меньше(=) 1/3. рассуждения, аналогичные п.1, приведут к тому, что мы вложимся только в медали
важно, что:
а) сочетание не дает нам доп. выгод (в функции полезности "+")
б) при компановке каждый рубль, вложенный в чертежи и рисунки, будет терять отдачу в U (не знаю, как доказать это прям строго, интуитивно понятно)
вроде все получается)
мне не нравится использовать x=y, у нас же новая функция(
возможно получается, но у меня с моей математикой что-то не особо
Дим, я же еще не совсем: новая функция - это функция с D
Это приведет нас к пониманию того, как при каждом $A$ оптимально выбрать $x(A)$ и $y(A)$. Следующий шаг - понять, как выбрать $A$.
пусть на медали тратится 9-A, тогда на остальное - A.
U=(9-A)/P+(A/P)^3 -> max
U'=A^2/9-1/P
U''=2A/9>0 => оптимум где-то на границе (А=0 или А=9)
U(0)=9/P
U(9)=27
U(0)>=U(9) при P<=1/3, иначе U(9)>U(0)
Алексей, мы смотрим на 2 пункт. И вы пишите что деньги уже потратили на медали, но в условии написано что он деньги не тратил. Но вы написали 9-А.
а можно какую-нибудь справку по второй производной, почему она в данном случае показывает, что оптимум где-то на границе?
насколько у меня есть отрывочные воспоминания, это что-то вроде скорости изменения функции, так?
ибо вторая производная показывает, убывает или возрастает первая производная в окрестности
в задаче точка, где производная равна 0, является минимумом, поэтому справа от него функция убывает, слева - возрастает. Поэтому максимальное значение на границе
как-то так))
К удивлению Алисы можно сказать, что никто не запрещает делать как в школе: использовать метод интервалов для того, чтобы понять, экстремумом какого рода является точка.
Вот вам пример, кстати говоря: $y=x^8$. Попробуйте с помощью второй производной определить характер экстремальной точки этой функции.
Только давайте говорить "в критической точке" или "в экстремуме, кроме крайних точек" , иначе относительно крайних точек придется еще говорить.
например Q3/3-Q2/2 в точке Q=1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=D%3D(Q^3/3-Q^2/2)'',+Q%3D1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=((Q^3/3-Q^2/2%2BQ/4))
Мне кажется, уже можно попробовать доказать)
$y=x^8$. Точка $x=0$ является точкой глобального минимума (чисто логические соображения), но в этой точке первая и вторая производная равна 0.
я хотел найти что-нибудь посложнее))
Спасибо!) Я и думаю, почему не могу строго доказать, было бы совсем странно, если бы это вышло
и вообще я не очень понимаю, почему мы можем заменять
p.s. спасибо большое, Алексей, все понятно=)
Далле9-А=6, т.е. 6 рублей у него осталось(везде пользуюсь этим равенством х=у) тогда чтобы все максимизировать ему на эти 6 рублей купить 8 медалей(х=2,у=2). и получается что он познакомится с 9 девчонами. но все-таки не пойму почему должно быть х=у?
было же сказано, что правильный ответ был у Алисы в сообщении 17.9.2010 в 16:31