Завтрак для ума

Заметим, что в каждый определенный момент времени потери полезности, связанные с тем, что сладости «остывают», равняются $0,2(t+5)$, вне зависимости от потребляемого блага. Именно поэтому при подсчете общей полезности их можно отделить от $U_i$ и $U_j$.
Обозначим эти потери за $T$.
$T_{min} = T(0) = 1, T_{max} = T(П+Ч-1) = 0,2( 5(П+Ч-1) + 5) = П+Ч$, кроме того увеличение потребления на 1 ед увеличивает $T$ на 1.
Тогда потери полезности за весь завтрак составят $$\sum_{T=1}^{П+Ч}T$$
Таким образом, функция общей полезности преобразуется в следующую:
$$TU = \sum_{i=1}^{П}{(56 - 3i)} + \sum_{j=1}^Ч(51 - 5j) - \sum_{T=1}^{П+Ч}T$$
$$TU = 56П - 3\sum_{i=1}^Пi + 51Ч - 5\sum_{j=1}^Чj - \sum_{T=1}^{П+Ч}T$$
$$TU = 56П - \frac{3(1+П)П}{2} + 51Ч - \frac{5(1+Ч)Ч}{2} - \frac{(1+П+Ч)(П+Ч)}{2}$$
Раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые, получим:
$$TU = 54П - 2П^2 - ПЧ + 48Ч - 3Ч^2$$
Приравниваем к нулю частные производные по $П$ и $Ч$ и находим оптимальные количества благ.
*Тот же результат возможно было получить подбором, определяя для каждого момента времени благо, приносящее Максиму большее удовольствие.

б) Ответ, конечно, очевиден - $C_{18}^6$. Но главное здесь вовсе не верное число...
В отличие от пункта а), пункт б) был нацелен больше не на вычисления, а на рассуждения.
Что же предположительно решающий должен был заметить, подсчитывая перестановки?
1) Получаемая полезность не зависит от порядка потребляемых благ, хотя полезность каждого отдельного потребленного блага от этого порядка зависит.
2) Поступая в некоторые моменты времени «иррационально», в конечном счете Максим достигает максимума общей полезности (причем, путей, включающих «иррациональные» шаги, большая часть от 18 тысяч).
* Под «иррациональным» поступком подразумевается: в определенный момент времени совершенный выбор, результатом которого является потребление блага, «дающего» меньшую полезность, чем его альтернатива.
Вы можете предложить объяснение этим парадоксам в комментариях. Позже они будут добавлены к решению)