Дмитрий продает на совершенно конкурентном рынке идеальные гаражики. Функция его предельных издержек имеет вид: $MC=\sqrt{Q(2k-Q)}$, где $k>0$. Дмитрий - очень особенный продавец гаражиков. Он стремится донести их красоту до всего мира, и поэтому продает все гаражики, которые он может произвести. Еще одна странность Дмитрия заключается в том, что если он видит, что для данного гаражика $MC\le MR$, то он продает его счастливому покупателю по цене $P_{продажи}=MС$ и получает удовольствие в размере $U=P_{продажи}$, но если для данного гаражика $MC>MR$, то наш Дмитрий начинает считать, что этот гаражик никому не нужен, и грустит, получая удовольствие $U=-(MC-MR)$.

а) Не проводя никаких вычислений, определите, при какой рыночной цене удовольствие Дмитрия будет положительным.
b*) Дмитрий женился. Семейная жизнь заметно потрепала Дмитрия, и он отказался от своих идей по пропаганде красоты через идеальные гаражики. Теперь он, как и тысячи других Дмитриев, максимизирует прибыль и не получает удовольствия от творчества. Постройте кривую предложения Дмитрия. (В этом пункте можно проводить вычисления)

Комментарии

Ксения Коровина
16.03.2014 16:27    
а) График функции $MC(Q)$ - полуокружность с центром $(k;0)$ и радиусом $k$. Из соображений симметрии рассмотрим только левую часть полуокружности и убедимся, что при $P=\frac{k}{\sqrt{2}}$ четверть круга составлена квадратом и двумя равными площадями $\Rightarrow$ полезность продавца, всегда выбирающего точку $Q=2k$, нулевая. При больших $P$ полезность $U>0$.

б) (в данном случае $P$ снова совпадает с $MR$ при любом $Q$)
Функция предложения (при известном ограничении $Q\leqslant 2k$) имеет вид $$Q^*(P)=\begin{cases}k-\sqrt{k^2-P^2}, \text{ if }P\in[0;p) \\ 2k, \text{ if } P\in[p;\infty)\end{cases} $$ где $p$ - цена переключения.
Определим условия, которыми $p$ определяется однозначно.

$\texttt{Условие раз:}$
Площадь между $MC$ и $P$ (малый сегмент круга) равна площади криволинейного треугольника подальше. $S=2kp-\frac{\pi k^2}{2}$, где $S$ - такая площадь.

$\texttt{Условие два:}$
Каким-нибудь из следующих способов делаем вид, что ищем площадь:
1. $$S=\int_{k+\sqrt{k^2-p^2}}^{2k}\left (\ p-\sqrt{Q(2k-Q)} \right )\ dQ$$
2. Временно введём угол $\beta: \sin\beta=\frac{p}{k}$. Пользуясь всё той же симметрией, получаем $$S=\frac{\pi-2\beta}{2\pi}*\pi k^2 - 0,5k^2\sin(\pi-2\beta)=...=\frac{\pi k^2}{2}-k^2\arcsin\frac{p}{k}-p\sqrt{k^2-p^2}$$

Итак, имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($p$ и $S$), из которой как-то можно вывести следствие - конкретное значение $p$. За отсутствием навыков работы с такими интегралами и арксинусами считаю задачу (насколько возможно) решённой.