Функция полезности от потребления сладкого для Вовы Гореплюйкина имеет вид $U(x;y)=3lnx +y$, где Х – вес съеденных шоколадок «Сладкинс» в сотнях грамм, а У – вес съеденных конфет «БорБориса» в сотнях грамм.
Друг Вовы, незабвенный Юра Сладкоежкин, посоветовал ему посетить магазин «Сладкие фантазии», который находится на перекрестке улицы Сладострастия и проспекта Нетерпения, так как там нынче проходит особенная акция: вместо того, чтобы платить за шоколадки «Сладкинс» 15 афро, можно отдать магазину 27 афро и покупать те же шоколадки по цене 6 афро за сто грамм.
Цена же «БорБорисок» остается неизменной и равной 10 афрам. Свои ценные указания Юрий снабдил еще и 70-ью афрами, которые стали единственным денежным подарком Вовы на день рождения (остальные деньги он потратил на празднование).
Найдите уравнение бюджетного ограничения Вовы Гореплюйкина и посоветуйте ему, как же лучше распорядиться своими деньгами.
Комментарии
Т.к. товар неделимый, то график будет построен "ступеньками".
В общем же виде -
70=15*х+10*у, при 2=<у=<7 и
70=10*у-27-6*х, при 0=<у=<1.
Ах, ну да, и для максимизации полезности ему нужно купить 7 единиц "у".
(70-М)/15=(70-М-27)/6, откуда М = 25. Следовательно, если мы потратим на "у" меньше чем 25 афро, то нам будет выгодно воспользоваться скидочной акцией :)
Тоесть,
70=15*х+10*у,при 2,5 =< y =< 7
70=6*х+10*у+27, при 0 =< y =< 2,5
Далее предположим, что у нас первый случай - у от 2,5 до 7. Тогда у=7-1,5х. Подставим это в формулу полезности. Возьмём производную и максимизируем.
Потом проделаем тоже самое со вторым интервалом. Т.е. где у=(43-6х)/10. Тоже максимизируем. Там, где U получится больше - и есть нужный ответ (конечно, учитывая условия принадлежности у к интервалам).
Если я правильно помню log'x=1/x, тогда у меня всё равно получается максимальная полезность при х=0, у=7.
"То есть,
70=15*х+10*у,при 2,5 =< y =< 7
70=6*х+10*у+27, при 0 =< y =< 2,5"
искать здесь.
Справка: производная ln(x)=1/x. log'_a(x)= 1/(x*ln(a)), но поскольку натуральный логарифм числа е равен 1, то производная трансформируется в первое равенство.
Все полезности из приведённых точек меньше чем при у=7. :(
Я тупо обсчитываюсь где - то?
А ответы у меня такие же получились, как у вас :(2;4) , (5;1,3)
Тогда оптимум при х=5, у=1,3
U=3ln5+1,3=6,12
Да, теперь верно. Там, где я написал, что у тебя ошибка, я сам ошибся, ибо думал, что ты забыл "заплатить за акцию", но потом увидел, что ты справа это прибавил.
А почему ты не оптимизировал экономически? В этом примере, как мне кажется, можно не проверять концы:
y= U - 3lnx - это все множество кривых безразличия. Заметим, что каждая следующая кривая безразличия получается вертикальным переносом вверх.
y'= -3/x, y' E (0; + beskone4nost')
Таким образом, любая из этих кривых может принимать наклон равный наклону участков кривых безразличия, так как их наклоны принадлежат этому промежутку, при чем только при одном х. Далее из того, что кривые получаются параллельным переносом вверх, следует, что существует кривая и только одна такая, что она касается бюджетного ограничения при этой координате х. Это и будет оптимумом, так как данная кривая будет иметь наибольшее значение U (ну и еще важно заметить, что касание будет в обоих случаях соответствовать положительному у).
Так что концы проверять вообще не надо вроде бы. Ну и еще кончено я хотел бы научиться ln0 находить)))
Но надо и из этих двух точек выбрать.
Это что такое? =)
Квазилинейные предпочтения - предпочтения, обозначающие частично линейную полезность.
Например, U=x^1/2+y, U=lnx+y и т.д.
Просто у этих предпочтений свои какие - то фишки есть, и, наверное, эту задачу можно проще решить.