Существуют две группы потребителей количество человек первой группы равно 100 и функция полезности каждого индивида $U=X*Y$, причем каждый индивид их этой группы может потратить на приобретение товаров X и Y - не более 100 дырок от бублика (денежных единиц), количество человек второй группы равно 50, функция полезности каждого из них $U=X^2*Y$, и каждый индивид тратит на приобретение этих товаров не более 90 дырок от бубликов. Рынок товара X совершенно конкурентный на нём действует 20 идентичных фирм функция издержек каждой $TC=0,125*Q^2+2$, на рынке товара Y действует монополист который имеет два завода функции издержек производства на них равны соответственно $TC1=30*Q1^2-190*Q1+4235$ и $TC2=20*Q2^2-190*Q2+4143$, товар Y субсидируется государством по схеме за первую проданную единицу Y монополист получает 20 дырок от бублика, за вторую в два раза больше, за третью в три, то есть 60, и так далее. Есть ещё рынок товара Z, на нём также действует монополист причём товар X является субститутом товару Z, а Y комплиментом. Спрос на Z описывается формулой $Qz=210-Pz+6Px-Py$, монополист может совершить ценовую дискриминацию назначив разные цены для двух групп покупателей товара Z, группы формируются случайным образом, то есть в буквальном смысле из толпы, возможности арбитража у потребителей нет, Функция его издержек $TC=Q^2$. Какие цены он назначит и какова будет его прибыль при этом.

Комментарии

Сколько всего намешано в одной задаче!
Это плохо?
Вроде нет, судя по всему вся соль во взаимосвязи рынков)
Я правильно понимаю, что из всей верхушки надо найти всего навсего $ P_x $ и $ P_y $, а дальше решить задачу максимизации прибыли при асболютной ценовой дискриминации для фирмы - монополиста?
бррр, кошмар какой, без 100 грамм не разберешься...
вопрос сходу: откуда товар z? если он субститут товару х и комплимент товару у, то значит он будет влиять на полезность индивидов, иначе спрос на него будет тождественный 0.
еще вопрос: Вы понимаете, что при данных условиях, если для 20 фирм выполнено условие р=МС, то они не максимизируют прибыль, ни одна из них?
А у вас выпуск только целый или любой действительный? Если действительный, то надо уточнить схему субсидии.
Из "верхушки" действительно находиться $P_x$ и $P_y$, затем находят функция $Q(Pz)$, монополист просто применяет ценовую дискриминацию, в реальной жизни с этим можно столкнуться, когда вам, как человеку из толпы, выдают купоны на скидку.
Ненене, про дискриминацию рассказывать не надо ))
Просто пытался понять с какого конца подойти, потому что, как уже отметил Евгений, без 100 грамм не разберёшься)
Насчёт 100 грамм не знаю, можно для верности и 150, а то и сразу 200. То что товар Z заменитель и комплимент уже отраженно в функциях полезности индивидов, будем считать что они проранжировали свои товарные наборы учитывая это, конкурентные фирмы как раз максимизируют прибыль, я даже скажу что прибыль одной конкурентной фирмы равна 198. Но нахождение их прибыли для ответа на вопрос задачи не требуется.
P_x = 10, это самое простое, что можно найти.
С этим я согласен, это самое простое)
Ну всё остальное тоже не так уж мудрено, видоизмененная MR_+sub достаточно легко выводится, спрос на Y - Q=6500/P, отсюда все про Y знаем, про Z подставить и посчитать не составит труда, если я всё правильно понял.
Это все я нашел, но у меня Py чрезмерно большой.Вообще нам нужно найти Pх Py Pz и их Q?
Алексей, субсидия выплачивается на целое число продукта Y, но с дробным числом сталкиваться не придётся, Y получится вполне таким приличным.
$P_x=10$, верно не поспоришь)))))
На мой взгляд ничего сложного вообще в задаче нет, все приёмы известны, просто они скомбинированы в одной задаче, цифры подобраны более менее красивые, главное аккуратно посчитать))))
когда приблизительно знаешь все ходы решения, самое выполнение его становится занятием не столь увлекательным, нежели если решение заключается в поиске одного сложного хода.
Евгений, Вы понимаете:
1) фирмы, вообще говоря, как-то конкурируют? вопрос в том как?
2) условия максимизации прибыли, если я ещё что-то помню, при "хороших" функциях выглядит так: $\frac{MU_z}{MU_x}=\frac{p_z}{p_x}$. тогда для первой группы $\frac{0}{y}=\frac{p_z}{p_x}$. Откуда очевидным образом получаем, что $p_z=0$
По-моему вполне логично предположить, что на z спрос предъявляет кто-то еще "экзогенный" )
но тогда этот кто-то его предъявит и на товары х и у, поскольку товар z ДЛЯ НИХ он комплимент и субститут. подумайте хорошенько, откуда вообще такое понятие появляется, если что - загляните в Вэриана, лучше продвинутого :)
Евгений, тогда считайте, что вы решаете 3 разных задачи))
В первых двух существуют 2 группы потребителей, предъявляющие спросы на товары X и Y. Также есть фирмы, предлагающие эти товары. Находите цены, пусть это a и b.
Третья задача использует эти a и b как данные)
Я понимаю, что если пытаться подходить к этому как к взаимосвязанным рынкам, то в условии есть ошибки. Но не надо просто капать так глубоко. Мы же задачи подобного типа для развлечения придумываем, чтобы "отработать" навыки нахождения оптимумов фирмы, а не для их публикации в ПВГ. =)
Ну тогда можно начать с того, что формулировка "товар A для товара B субститут" неверна потому как такое свойство им придает способность удовлетворять потребности одного вида, которые, в свою очеред у всех разные, а значит в этой формулировке необходимо указать субъект потребностей. Пример : для одноногого человека два носка являются не абсолютными комплементами, а заменителями
я все о том, что спрос на товары х и у формируют 2 группы, для которых z - товар, не обладающий полезностью, заначит он не субститут и не комплимент, но неожиданно, вуаля, и он субститут и комплимент, чудеса в решете
Для начала, тогда уж, раз у нас есть потребители и мы всё знаем об их доходе, то выясняется, что они уже всё потратили на Х и У, следовательно чем они будут расплачиваться за Z? )))
это вполне логично, поскольку полезность приносят только х и у, то только их и покупают, кстати, если аккуратно вывести функцию спроса, то прямо оттуда можно понять, в каком родстве находятся товары, я имею в виду суб\комп
У меня получилось $ P_{x} = 10 $. После этого считаю сумму расходов на Y, получается, что первая группа потратит на Y 5000, и вторая ещё 1500, всего 6500.
Тогда получается, что монополист будет производить и получать отрицательную прибыль(?!), потому что $ TC(Q) = 18378 - 210Q + 12Q^2 $, откуда $ Y^* = 9 $... Или опять не туда? :)
Монополист по товару Y получает ещё субсидию, так что если мне не изменяет память прибыль у него всё же положительная...
Дам небольшую подсказку, потребители действительно потратят на товар Y 6500, при любом неотрицательном выпуске, то есть монополист получает эту сумму в любом случае если он на рынке, То есть его выручка постоянна и прибыль зависит только от его издержек, так как он получает субсидию, функция его издержек изменятся, и он ставит целью их минимизировать дабы получить максимальную прибыль.
Я просто недопонял условие, я думал что монополист получает 20 за каждую единицу, а там прогрессивная шкала) Щас доделаю.
А выпуск положителен даже хотя бы потому, что $ \pi(1) > \pi(0) $.

UPDATE
Записываем формулу дотации для n-ной единицы продукта и получаем $ Y^* = 50 $, но прибыль < 0.

Да, про прибыль не досмотрел, по сути значение постоянных издержек приписывалось только ради того чтобы издержки были всегда больше нуля, но с TFC видимо всё же маху дал, сейчас это исправлю, просто отниму по пять тысяч от каждой функции издержек. Спасибо за информацию)))))
Т.е. Y=50 и Py=130?
Тогда Qz нецелое =(
Ведь у фирмы, осуществляющей абсолютную дискриминацию, D=MR, откуда 140-Q=2Q => Q=140/3; P=280/3; Pr=(140/3)^2
А вот здесь я не соглашусь, какая функция Qz(Pz) получилась, насколько меня всё же учили в этом случае используется иной приём, если более конкретно с частными производными...
$ Q_{z} = 140 - P $
$ MC = 2Q $
Для монополиста, осуществляющего абсолютную ценовую дискриминацию кривая спроса совпадает с кривой предельной выручки, т.к. он выжимает из покупателей все их деньги (вынимает их выигрыш, если рассмотреть графически).
И частные производные тут, вроде, не нужны, не максимизировать же по $ P_{z} $ и по $ Q_{z} $ одновременно)
Или тут имеется ввиду дискриминация второй степени? Т.е. продажа товара партиями? Тогда и частные производные появляются.
И ответ тогда $ Q_{z} = 40 $, делится на две партии по $ Q' = 20 $ и продаётся по ценам 120 и 100.
Но из условия можно понять только первое решение.
Ах, да и Y найден абсолютно верно)))))
Насколько я заметил, Евгений, вы написали условие максимизации не прибыли, а всё же полезности. Вопрос с чего вы взяли что предельная полезность товара Z равна нулю? Никакой функции полезности к товару Z в условии задачи не сказано, более того говоря о потребителях товара Z тоже ничего не ясно исходя из условия, кто они такие, относится ли они к тем кто потребляет товары X и Y или нет, даже если вы видите какие-то неточности в теории, хотя я уверяю что подобную ситуацию придумать все же можно, например существует некая группа покупателей для который товары X и Z совершенные субституты, они исходя из своих функций полезности делают выбор в пользу Z, однако по условию задачи нам это выяснять не надо, сделайте допущение, что такое возможно, вопрос задачи заключается не в том как происходила конкуренция, то есть динамика изменений на рынках вас интересовать не должна, а что в итоге получилось, какие цены сформировались на этих самых рынках, что вам и предлагается найти
Я разделяю негодование Евгения. Если уж все так связано, то в задаче чего-то явно не хватает!
tnx)
Дмитрий хорошо я с вами полностью согласен, если вы считаете что чего-то не хватает, жду ваших конструктивных предложений, если они будут обязательно внесу их в условие задачи, только вот вопрос оно вам надо, может проще действительно лишний раз потренироваться в нахождение оптимумов, чем разворачивать мини-дискуссию о неточностях в экономической теории, используемой в данной задачи...
"тренируемся на кошках" - так, кажется, в "Операция Ы" было? а мы тут "собрались" как раз, чтобы смотреть "изыски" разного рода и тонкости эк теории. Евгений, я Вам указал уже, в чем неточности, но Вы меня в упор проигнорировали, что ж - удачи :)
Не бывает в одной задаче одновременно функции полезности и функции спроса, которая не соответствует функции полезности.
И от вас, Евгений, я также жду конструктивных предложений, если вы их предложите. Кстати не самые однозначные задачи были и на региональном этапе, на мой взгляд, так что видимо стоит просто это принять, тем более что не за баллы боремся.
ок.
1) ввести z в функции полезности.
2) убрать спрос на товар z.
3) указать, что 20 фирм конкурируют по Бертрану.

тогда решение задачи изменится коренным образом, зато будет виден механизм установления равновесия

Евгений, если вас это так серьезно задело, буду ждать доработанную вами версию задачи, ок?
$U_1=x*y*z$
$U_2=x^2*y*z^{1/2}$
остальное указано выше, функцию спроса убираем. Решайте! мне самому считать лень, очевидно только, что равновесие будет.
Огогосики, многомерная оптимизация.
Может, не надо? А то вдруг седло, да, Тимур? ))
ну решение в любом случае будет, хотя бы в крайних точках, да и функция, вроде, возрастает по своим аргументам всюду, то есть седло, мне кажется, не получится. В крайнем случае, решение будет существовать из замкнутости и ограниченности области определения для непрерывной функции :)
Те кто знакомы с седлом не понаслышке знают поговорку :"Жди седло там, где другие его не ждут")
седла тут точно нет, так решение находится в точке касания кривых безразличия и плоскости бюджетного ограничения, а кривые безразличия в этих функциях полезности выпуклы к началу координат.
Эрик, это мы так шутим по-дурацки)
Хммм...
Проверим их матрицей! ))
Далее прогоним по условиям $ a_{1} * b_{2} * c_{3} < 0 $
А второе уравнение для троичных матриц сходу не скажу, там через миноры вроде всё..)

Эрик, не принимайте близко к сердцу)

Подожди, по Лагранжиану мне кажется по-интересней будет покрутить? Да и тем более в таких случаях не использовать критерий Сильвестра - просто моветон!
a1 * b2 * c3 это и есть твой любимый критерий))
Неудивительно слышать это от любителя нестандартных обозначений)
Что ж, от удачи я не откажусь, и вам того же с радостью пожелаю)))
Ну наконец-то я добил эту задачу,как-то не заметил,что арифметическая прогрессия спряталась,поэтому не мог понять где ошибаюсь))
Y=50 Py=130 Px=10 X=800 Qz=140-Pz ;а поповоду ценовой дискриминации не очень ясно какую применять их ведь.Если ту которая даст нам наиб. прибль то Pr=2800.
Дискриминация первой степени даст нам 9800/3.
Она даст нам 19600/9
9800/3. Потому что P будет изменяться, и мы не можем умножать на 140/3.
Прибыль найдена абсолютно верно, только вот хода решения не написано...
Жень, не ленись, промотай чуть - чуть вверх, я там всё написал)
Сначала доказываем что партии равны, потом вводим одну переменную и решаем всё через неё.
Помнишь задачку с Сибириады)да именно так я решал.
Да, всё увидел всё верно, сразу не заметил))))))
Пардон, в условии задачи не написано, что дискриминация вводится на потребителей, формируется два сегмента потребителей для которых назначается разная цена. Сейчас это внесу в условие задачи. Ещё раз приношу всем свои извинения за неудобства...
Всем кто потратил свое время на решение задачи спасибо, надеюсь она понравилась)))))
По поводу эконом теории, попробую как-нибудь придумать ситуацию при которой не возникает споров о её достоверности данной ситуации, есть пара идей, но их признаю неплохо было бы обдумать, чем получать критику в ответ, или как я это называю - получать фейсом об тейбл)))...