Задача

В подборках

Индивидуальный выбор

Темы

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

22.01.2012, 21:41 (Григорий Хацевич)
21.04.2012, 10:24


(0)
а) Спрос на продукцию монополиста задаётся некоторой непрерывной нестрого убывающей функцией $Q_{d} (P)$; издержки производства задаются некоторой нестрого возрастающей функцией $TC(Q)$. Когда требуется определить, какие $P$ и $Q$ выберет монополист, максимизирующий прибыль, обычно рассматриваются только точки на кривой спроса и самая лучшая среди них (в смысле прибыли) объявляется решением задачи монополиста. Однако ведь монополисту доступны и точки слева от кривой спроса: никто не мешает ему установить цену $P_{0} $, но продать меньше, чем $Q_{d} (P_{0} )$ (соответственно, и производить тогда пришлось бы меньше, что снизит величину общих издержек). Может ли получиться так, что одна из этих точек даст прибыль большую, чем лучшая среди точек на кривой спроса?

б) Изменится ли ответ, если убрать требование непрерывности спроса?

Комментарии

вряд ли,ведь производя и продавая меньше даже по оптимальной для него цене, он теряет часть выручки, равной
а тогда получается что AC должны быть больше P
лично я не очень понял что-то из того, что вы сказали. напишите задачу, которую решает монополист, затем напишите формально, что означает "левее функции спроса". Затем вы получите некоторое соотношение на условия оптимума, что и даст ответ на вопрос.
Нестрого убывающая - это не всегда убывающая?
И какие тогда MC?
Спасибо. В данной задаче график TC может быть параболой, например?
Я изменил. Лучше определение из википедии.
Если вершина параболы находится в точке A(0;y0), то да. Учитывая экономический смысл, что мы рассматриваем только там, где Q>=0.
Рассмотрим, что происходит с прибылью монополиста, когда он снижает объём производства при фиксированном $P_0$.
Понятно, что сокращая производство монополист теряет выручку. Он мог бы продавать "сокращённые" им единицы продукции по цене $P_0$, но не стал. Значит, выручка с одной единицы равна $P_0$. Если он смог повысить свою прибыль, значит при $Q(P_0)$ выполнялось $MC > P_0$. Следовательно, сократив производство он сократил издержки в большей степени, чем выручку.
Так как, по условию, спрос - убывающая функция, значит $MR(Q) \leqslant P(Q)$ ( равенство достигается при $Q = 0$).
Получили. $Q(P_0) > 0$ (так как его можно сократить), следовательно, $MR(Q(P_0)) < P_0 < MC(Q(P_0))$, следовательно, при $P = P_0$ выполняется $MR(Q(P_0)) < MC(Q(P_0))$, следовательно, эта цена не является оптимальной, так как при оптимальной цене $MR(Q(P^*)) = MC(Q(P^*))$.
Также, тот факт, что точка под спросом не может являться оптимальной можно доказать другим образом. Предположим, что монополист сократил объём выпуска и теперь производит $Q = Q_1$. Так как функция спроса убывающая, монополист продаёт по цене, меньшей $P_d(Q_1)$, следовательно, монополист может поднять цену, то есть повысить выручку, не изменяя объём выпуска, то есть не изменяя издержки. Рост выручки при фиксированных издержках даст повышение прибыли.
Кроме того, для пущей убедительности твоего второго варианта решения можно добавить, что и в новой точке на кривой спроса прибыль будет не больше, чем в точке $(Q^*;P^*)$, которая ( точка $(Q^*;P^*)$ ) заведомо определяет максимум прибыли для данной функции спроса, а значит, $\pi(Q_1)_{\text{Вне кривой}}<\pi(Q_1)_{\text{На кривой}}\leq \pi(Q^*)$
Первое решение - глупость.
Суть во втором решение. Оно доказывает, что для любой точки под спросом найдётся точка на спроса с большей прибылью. Вот и всё.
Ну я бы не стал говорить, что первое решение глупость, можно попробовать решить с интегралами и свести к твоим последним двум строчкам, но, я так думаю, будет проблематично все это сделать в общем виде.

Да, я именно это и имел в виду:)

Нет, всё-таки в общем виде первое решение не выполняется, т.к. неизвестно как ведут себя $\MC$, а следовательно однозначности в интегрировании не будет.
Поэтому оно у глупость.
Я пытался обосновать именно неверность того, что делалось в условии, то есть сокращение $Q$ при фиксированном $P$, но не получилось. Гораздо легче доказать тот факт, что сокращение $P$ при фиксированном $Q$ не является выгодным. А так как $Q(P)$ убывающая функция, второе решение подходит к условию.
Ложность увеличения прибыли за счет сокращения количества при фиксированной цене доказывается не намного страшнее:)

Пусть у нас $(Q^*;P^*)$ дает максимум выручки на кривой спроса, и мы уменьшили $Q$ до значения $Q_{1}$ при фиксированном $P=P^*$, издержки уменьшились, мы можем увеличить выручку за счёт увеличения цены до значения $P_{1}=P_{d}(Q_{1})$ (то есть довести до цены на функции спроса), а т.к. издержки при увеличении цены не изменились, то прибыль возросла по сравнению с точкой $(Q_{1};P^*)$, но в точке $(Q_{1};P_{1})$ прибыль небольше, чем в точке $(Q^*;P^*)$, т.к. она самая оптимальная на нашей кривой.

Пусть $P_d=a-bQ$, а $TC=Q^2+c$.

Тогда $\pi=aQ - (b+1)Q^2 - c$

$Q^*=\frac{a}{2(b + 1)}$

$P^*=\frac{a(b + 2)}{2(b + 1)}$

$TR^*=\frac{a^2(b + 2)}{4(b + 1)^2}$

$TC^*=\frac{a^2}{4(b + 1)^2} + c$

$\pi^*=\frac{a^2}{4(b + 1)} - c$

Теперь, допустим, что цена осталась такой же, а $Q_2=tQ^*$, где $t\epsilon(0;1)$

$Q_2=\frac{at}{2(b + 1)}$

$TR_2=\frac{ta^2(b+2)}{4(b + 1)^2}$

$TC_2=\frac{t^2a^2}{4(b + 1)^2} + c$

$\pi_2=\frac{ta^2(b + 1)}{4(b + 1)^2} - c$.

Значит, $\pi_2<\pi^*$