Робинзон Крузо умеет добывать кокосы и крокодилов. Его КПВ описывается формулой $y=5-x^{2} /5$, где $x$ — количество кокосов (в килограммах), $y$ — количество крокодилов (в килограммах). Робинзон питается исключительно крококосовой кашей. Чтобы изготовить килограмм каши, требуется израсходовать килограмм кокосов и килограмм крокодилов. Чем больше каши съест Робинзон, тем ему лучше. На мировом рынке кокосы можно продавать и покупать по 0,4 руб./кг, а крокодилов — по 1 руб./кг.
- Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон, если бы у него не было доступа к мировому рынку? Сколько килограммов каши он бы при этом съедал?
- Сколько кокосов и крокодилов добывает Робинзон, если у него есть доступ к мировому рынку? Сколько килограммов каши он при этом съедает?
- Покажите графически (в координатах $x,y$), как будет изменяться производство и потребление Робинзона, если цена кокосов будет плавно изменяться (расти либо снижаться). Верно ли, что чем выше цена кокосов (при неизменной цене крокодилов), тем лучше Робинзону?
- Придумайте функцию полезности вида $U(x,y)=...$, которая бы отражала описанные выше предпочтения Робинзона.
- Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон при наличии доступа к мировому рынку с ценами 0,4 руб./кг и 1 руб./кг, если бы его предпочтения описывались функцией $U(x,y)=x\cdot y$? А если $U(x,y)=x+\sqrt[{8/9}]{sin^{2} y+1} $?
Комментарии
2)3.625 каши
4)U(x1,x2)=min{x1,x2).
С таким же успехом могло быть U(x1,x2)=2*min{x1,x2} или U(x1,x2)=(min{x1,x2})^2
Суть в том, что Робинзон получает удовольствие от кол-ва съеденной каши, а это в свою очередь равно минимальному из 2-ух чисел: кол-во крокодилов и кокосов в распоряжении Робинзона... Не уверен, что это правильное решение.
3)Нет. Заметим, что количество каши, которое будет потреблять Крузо зависит от цены на кокосы следующим образом:$Q_{porridge}=5\frac{0,25P_{coco}^2+1}{1+P_{coco}}$. Очевидно, эта функция не монотонно возрастающая по $P_{coco}$.
5) Такой же набор как и в 2) - $(1;4,8)$. Очевидно, что данный набор оптимален для любой функции $U(x;y)$ при данных ценах и нулевых издержках утилизации.
5) Набор $ (1;4,8) $ действительно является оптимальным для производства при любой функции полезности, но в задаче спрашивается "Сколько кокосов и крокодилов добывал бы Робинзон"; и как только может быть несколько оптимальных наборов, мы уже не можем утверждать, что Робинзон выберет именно набор $ (1;4,8) $. Например, если $U(x,y)=8$, то набор $(0,0)$ столь же хорош для производства, как и набор $ (1;4,8) $. Но что можно сказать о функциях, данных в условии: может, для них оптимум таки будет единственным?
P.S. Если что, разбор этой задачи есть на видео.
Верно?
Функция полезности, отражающая описанные предпочтения Робинзона, по определению должна давать тем большие значения парам вида (x,y), чем больше можно изготовить каши из данной пары.
Но ведь задание было составить функцию, в которой самым оптимальным набором благ $x$ и $y$ будет набор, при котором $x = y$. В составленной функции максимум достигается, когда $x = y$.
Не понимаю ошибки.
2. $26/7$
3. Чем ниже цена кокосов, тем больше производство крокодилов
Нет, не правда
5. $U(x,y)=xy$, то $x=y=2.5(\sqrt{5}-1)$
Во втором случае $x=13-1,25\pi$ $y=\pi/2$
$TR=Px*X+Py*Y$ => $Y=TR/Py-Px/Py*x$, где $Px/Py=0,4$(по условию). Очевидно, что Робинзон выберет для продажи на рынке именно то количество крокодилов и кокосов, которое при дальнейшем обмене обеспечит максимально возможное кол-во порций каши. Для этого будем проводить параллельные друг другу кривые, уравнение которых представлено выше. Заметим, что максимальное число наборов можно будет достигнуть в случае касания кривой выручки и КПВ. Найдем эту точку: $Y'_{КПВ}=Y'_{TR}$ => $-0.4x=-0.4$ => $x=1$, а$ Y$, соответственно, $4,8$. Эта точка лежит как на КПВ, так и на кривой выручки. Теперь найдем уравнение выручки по известному нам наклону $-0.4$ и одной точкой на ней (1;4,8). =>$Y=5,2-0,4X$. Фактически, это и есть наша новая КПВ, так как произведя 4,8Y и 1X, мы можем обменять некоторое количество Y на X, в результате чего получим: $X=5,2-0.4X$ => $X=Y=26/7$, а, соответственно, и $26/7$ порций каши.