Благородный разбойник Робин Гуд прочитал в книге монаха Тука про такое понятие, как индекс Джини. Он не очень разобрался в деталях, но главное понял - индекс Джини отражает степень социального неравенства населения. Робин решил восстановить справедливость и начал снижать индекс Джини в славном городе Ноттингеме, как умел. Разбойник за раз грабит любого богатого (то есть забирает всё его имущество) и отдаёт его имущество любому бедному (богатый и бедный - любые два человека с различным доходом). Сможет ли Робин таким образом снизить индекс Джини в Ноттингеме?

Комментарии

Кто-нибудь может подсказать, как добавить тему задачи?
Это качественная ситуация, то есть нужно описать что будет, или нужно строгое математическое решение?
Нужно строгое решение. Очень строгое. Фразы типа "...ну, разница в доходах немножко увеличится, значит индекс наверно вырастет" не принимаются
Если предположить, что бедный изначально получал долю $x$ доходов города, а богатый - $y$, то после такого "обмена" богатый станет получать $0$, а бедный $x + y$. Раньше разница в доходах была равна $y - x$, а теперь равна $y + x$, и, так $x$ и $y$ положительные числа, можно сказать, что неравенство увеличилось и индекс Джини вырос.
Интересно, кто есть бедные и кто есть богатые. Если предположить, что это две строго закреплённые "касты", то в итоге таких операций всё благосостояние жителей Ноттингема перейдёт в руки бедных, и они станут "богатыми", а богатые не получат ничего, и Робин Гуд только усилит неравенство.
Можно предположить, что Робин Гуд определяет "богатого" и "бедного", исходя из долей двух определённых человек (т.е. разные люди в разных ситуациях могут оказаться или "богатыми", или "бедными"). Из каждой пары людей один станет "очень богатым", а другой - "очень бедным". В итоге многоразовых таких операций может оказаться, что один человек получит всё благосостояние города, и индекс Джини будет стремится к 1.
В итоге, индекс Джини никогда не сможет уменьшится.
Да - Робин определяет богатого и бедного исходя из долей их дохода в общем доходе. Но Робину не обязательно доводить ситуацию до абсолюта - он может остановиться в любой момент. Решение в таком виде я считаю пока очень нестрогим и неполным.
Вот строгое. Не получается пока что прикрепить к нему рисунки, но постараюсь сделать это в скором времени.
Кривая Лоренца, по сути говоря, - это очень сильно раздробленная кусочно-линейная функция. Если в каждой точке перегиба провести прямую, параллельную горизонтальной оси, то мы получим очень много углов, тангенсы которых при движении вверх по кривой Лоренца возрастают (т.к. эти тангенсы равны: (доля получаемого индивидом дохода)/(долю в населении). Доля в населении для каждого жителя величина постоянная и равная $\frac{1}{N}$, где $N$ число жителей. Следовательно, чем больше получаемая доля, тем больше тангенс угла.

Введём обозначение: если житель $W$ находится на кривой Лоренца в промежутке $(Q;E)$, следовательно, $Q$ - абсцисса точки на кривой Лоренца, соответствующей сумме долей всех жителей с долями, меньше доли жителя $W$, $E$ - абсцисса точки на кривой Лоренца, соответствующей сумме долей всех жителей с долями, меньше доли жителя $W$ + доля жителя $W$. Под "долей жителя $W$ подразумевается его доля в доходе города, а не в населении, т.к. доля в населении у всех жителей одинакова и равна $\frac{1}{N}$.
Как и в предыдущем "коротком" решении $x$ - доля "бедного", $y$ - доля "богатого".

"Вытащим" из первоначальной кривой Лоренца интересующие нас участки. Обозначим их $A_1;A_2$ и $A_3;A_4$, для бедного и богатого соответственно.(Точки $A_1$,$A_2$,$A_3$,$A_4$ - это абсциссы точек на кривой, а не сами точки). Очевидно, что длины этих двух отрезков равны доли одного человек в населении, то есть $\frac{1}{N}$. Тогда на участке кривой $(O;A_1)$ ($O$ - начало координат) располагаются жители, беднее "бедного", то есть с тангенсами, меньшими тангенса бедного, т.е. с долями, меньшими $x$. На участке $(A_2;A_3)$ жители с достатком, большим, чем $x$, и меньшим, чем у $y$. На участке $(A_4;M)$ располагаются жители с большим, чем у "богатого, достатком, а, следовательно, и с большими тангенсами углов. ($M$ - точка с координатами (1;0), т.е. абсцисса конца кривой Лоренца)

Начнём строить новую кривую Лоренца:
Самым бедным теперь станет тот самый "богатый" (будем считать, что в городе до этого нет людей с нулевым доходом, если они и есть, то он просто пополнит их ряды, (на решение это особого влияния не окажет), а в реальности они бы уже умерли от голода, к сожалению)
и тот участок кривой, на котором будет располагаться "богатый" будет являться горизонтальной линией( если до этого не было "нищих", то этот горизонтальный участок будет исходить из начала координат, если они были, то горизонтальный участок кривой Лоренца немного продлится). В любом случае, это неважно, потому что этот горизонтальный участок новой кривой будет лежать под первоначальной кривой.

Следующий участок новой кривой будет образовываться смещением, участка $(O;A_1)$ первоначальной кривой на $\frac{1}{N}$ единиц вправо, потому что некоторая доля $Z$ ($Z$ лежит в промежутке $(O;A_1)$) жителей на старой кривой Лоренца получает такой же доход, что и количество $Z + \frac{1}{N}$, потому что к ним прибавился один человек с долей $\frac{1}{N}$, но не имеющий никакого дохода и поэтому не увеличивающий доля в доходах. В итоге такого смещения суммарная доля, которая была в точке $A_1$ на первой кривой будет равна, доле получаемой той долей населения, которая была в точке $A_2$, только будет меньше на $x$. Это можно также обосновать тем, что тоже самое количество населения, что было в точке $A_2$(то есть включая "бедного") получает теперь на заработок бедного меньше, потому что "бедный" "ушёл наверх" по кривой Лоренца, забрав свой достаток, а "богатый" перешёл в ряды этого количества населения с нулевым достатком. Следовательно, количетсво населения не сократилась, а получаемая доля сократилась на долю, изначально получаемую "бедным".
Итак, новая кривая Лоренца на промежутке $(\frac{1}{N};A_2)$ будет лежать правее, а, следовательно, ниже предыдущей.

Рассмотрим участок долей населения $(A_2;A_3)$. На этом участке всё просто: все точки при каждом значении доли населения будут смещены вниз на $x$, потому что фактически то же самое количество населения будет получать меньшую долю дохода, потому что эта доля, а, точнее, человек, обладающей этой долей, "поднялся" вверх по кривой Лоренца.

Теперь самое интересное: "бедный", получивший доход богатого, "поднялся" выше его позиции в кривой Лоренца, то есть после точки $A_3$ на новой кривой "находятся" люди, находившиеся на старой кривой после точки $A_4$.
Найдём такую точку $A_5$($A_5$ - это абсцисса этой точки), на старой кривой, что до точки $A_5$ находятся жители с доходом, меньшим нового "суммарного" дохода "бедного"$(x + y)$, а после - с долей дохода, большей нового дохода "бедного". Очевидно, что после точки $A_5$ кривые Лоренца будут совпадать, т.к. на этот участке находятся самые богатые жители, которых не волнуют "перестановки" внизу кривой.

Осталось только достроить участок кривой $(A_3;A_5)$. Участок $(A_3;A_5 - \frac{1}{N})$ новой кривой будет образован перемещением участка $(A_4;A_5)$ старой кривой, на $\frac{1}{N}$ влево и на $(x+y)$ вниз. Это получает из-за того, что, например, тот человек, который находился на промежутке $(A_4;A_4 + \frac{1}{N})$ старой кривой, будет теперь смещён на одну $\frac{1}{N}$ единиц влево ( потому на старой кривой "до него" стояли "бедный" и "богатый", а теперь стоит только "богатый", ставший нищим) и на $x+y$ вниз ( потому что фактически те же самые люди недополучают долю $x+y$ дохода, которая "ушла наверх"). Получаем, что в промежутке $(A_3;A_4)$ новой кривой будет находится тот житель, который на старой кривой "следовал"( находился в промежутке $(A_4;A_4 + \frac{1}{N}$)) за "богатым", и значит, по определению кривой Лоренца, имел доход больший, чем "богатый", т.е. имел больший тангенс угла. Данное утверждение можно доказать и для того самого "бедного", который теперь находится в промежутке $(A_5 - \frac{1}{N}; A_5)$. Доля в точке $A_5 - \frac{1}{N}$ образуется вычитанием $(x+y)$ из доли, которая была на старой функции в точке с абсциссой $A_5$, т.к. фактически в точке $A_5 - \frac{1}{N}$ есть все люди, что и в точке с абсциссой $A_5$, только без "бедного", доля которого равна $(x+y)$, следовательно, чтобы получить долю на новой кривой в точке с абсциссой $A_5 - \frac{1}{N}$ необходимо из доли с абсциссой $A_5$ на старой кривой вычесть $(x+y)$. Это можно обобщить для всех житель, находившихся на старой кривой на отрезке $(A_4;A_5)$, и потом смещённых. Теперь, фактически, на тех же отрезках новой кривой будут находиться люди, раньше находившиеся выше и имевшие больший доход, а значит и больший тангенс. Это означает, что на тех же отрезках долей населения тангенсы углов будут больше, следовательно, новая кривая будет "расти" быстрее старой, а значит, возможно, и пересечёт её и станет выше.

Докажем, что это не так. Начнём "строить" кривую не снизу, а сверху - от точки $A_5$ к точке $A_3$. В старой кривой ( по предположению о местонахождении точки $A_5$) перед точкой $A_5$ находились люди с долей дохода меньшей, чем суммарная доля дохода "бедного", следовательно, у некоего жителя который располагался на старой кривой в промежутке $(A_5 - \frac{1}{N};A_5)$ доход будет меньше, чем $(x+y)$. Следовательно, и тангенс у новой кривой будет больше, а, так как обе кривые выходят из точки $A_5$, и двигаются в точку $A_5 - \frac{1}{N}$, то чем больше тангенс - тем больше доля этого человек, а, так как эта доля вычитается из суммарной доли, которая была в точке $A_5$, при большем вычитании, меньше остаётся, значит новая кривая Лоренца лежит при абсциссе $A_5 - \frac{1}{N}$ ниже, чем первоначальная кривая. А так как, по вышедоказанному, все точки новой кривой из промежутка $(A_3;A_5 - \frac{1}{N})$ будут убывать( при движении сверху вниз) быстрее соответствующих точек старой кривой, то значит все точки новой кривой на этом промежутке будут лежать ниже и, следовательно, вся кривая будет лежать ниже.

Вывод:
$(O;\frac{1}{N})$ - новая кривая Лоренца горизонтальна и совпадает с осью абсцисс, следовательно, лежит ниже старой.(не будем брать в расчёт "нищих").
$(\frac{1}{N};A_2)$ - новая кривая Лоренца образуется параллельным сдвижением части старой кривой вправо на $\frac{1}{N}$, следовательно, лежит ниже старой кривой.
$(A_2;A_3)$ - новая кривая Лоренца образуется параллельным сдвигом старой кривой вниз на первоначальную долю "бедного", следовательно, лежит ниже старой кривой.
$(A_3;A_5)$ - новая кривая образуется смещением старой влево $\frac{1}{N}$, и на $(x+y)$ вниз. По вышедоказанному, будет постоянно ниже старой кривой Лоренца.
$(A_5;M)$ - совпадает со старой кривой Лоренца.
Следовательно, новая кривая Лоренца никогда не превышает старую, следовательно, индекс Джини никогда не сможет сократиться.

Аплодирую стоя! Браво!
Ты смог во всём разобраться без графиков?
Наибольшие сложности вызвала часть A3-A5, но я справился. В конце концов, кто лучше всего может разобраться в задаче, как не автор) Но было тяжело продираться сквозь предложения по абзацу. Всё-таки график существенно упростит решение (по крайней мере его восприятие).
если не особо вдумываться, то он просто меняет бедного на богатого, а богатого на бедного, то есть коэффициент не изменится. Что-то вроде того?
хотя... он скорее делает делает бедного богаче, чем был богатый, а богатого делает беднее, чем был бедный, а значит неравенство увеличится
Согласна с тобой)
Очень красивое условие))
Пусть у нас $i$ жителей, и $x_{j}$ - доход $j$-го жителя ( причем $x_{j+1}>x_{j}$ )

Кривая Лоренца у нас будет представлять ломаную из $i$ звеньев (если даже несколько жителей имеют одинаковый доход, будем все равно считать, что это разные звенья, для понимания удобнее).
Найдем площадь под кривой Лоренца до того, как Робин Гуд начнет свою работу и после его первой пары "богатый-бедный" и сравним их. Чем больше эта площадь, тем меньше индекс Джини

$$S_{до}=\frac{\sum_{n=1}^{i}x_n +\sum_{n=1}^{i-1}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{\sum_{n=1}^{i-1}x_n +\sum_{n=1}^{i-2}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+...+\frac{\sum_{n=1}^{2}x_n +\sum_{n=1}^{1}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{x_{1}}{2\sum_{n=1}{i}}\cdot \frac{1}{i}=$$ $$=\frac{1}{2i\cdot \sum_{n=1}^{i}}\cdot \left(\sum_{n=1}^{i}x_n +\sum_{n=1}^{i-1}x_n +\sum_{n=1}^{i-1}x_n +\sum_{n=1}^{i-2}x_n+...+\sum_{n=1}^{2}x_n+x_1+x_1\right)$$

Теперь пусть у нас Робин Гуд ограбил $k$-го жителя (далее будем называть его "неудачник") и отдал всё $m$-ному жителю (далее "везунчик") (конечно же $k>m$ и $x_{k}>x_{m}$), тогда доход везунчика составит $(x_{k}+x_{m})$, а доход неудачника - 0, теперь везунчик будет носить новый номер, такой, что $x_{l}>x_{везунчика}>x_{l-1}$, тогда найдем новую площадь:
$$S_{после}=\frac{\sum_{n=1}^{i}x_n +\sum_{n=1}^{i-1}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{\sum_{n=1}^{i-1}x_n +\sum_{n=1}^{i-2}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+...+$$ $$+\frac{\sum_{n=1}^{l}x_n +\left(\sum_{n=1}^{k}x_n -x_m \right)}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{\left(\sum_{n=1}^{k}x_n -x_m\right)+\left(\sum_{n=1}^{l-1}x_n-x_m\right)}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+...+\frac{\sum_{n=1}^{2}x_n+x_{1} }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{x_{1}}{2\sum_{n=1}{i}}\cdot \frac{1}{i}=$$ $$=\frac{1}{2i\cdot \sum_{n=1}^{i}}\cdot \left[\left(\sum_{n=1}^{i}x_n +\sum_{n=1}^{i-1}x_n\right) +\left(\sum_{n=1}^{i-1}x_n+\sum_{n=1}^{i-2}x_n\right) +...+\left(\sum_{n=1}^{l}x_n+\left(\sum_{n=1}^{k}x_n -x_m\right)\right)+\left(\left(\sum_{n=1}^{k}x_n -x_m \right)+\left(\sum^{l-1}_{n=1}x_n-x_m\right)\right)+...+\left(\sum_{n=1}^{2}x_n+x_1\right)+x_1\right]$$

Замечание 1 : $x_m$ будет вычитаться из всех сумм до $m$-ного жителя (ставшего $m$-ным после ограбления, ранее это был $(m-1)$-ый), почему это происходит? Да потому что везунчик стал богаче, поэтому его доля дохода не будет входить в эти суммы!
Замечание 2 : Нулевой доход неудачника не входит в данный подсчет площади

Теперь сравниваем полученные площади, видим, что в этих площадях одинаковые суммы (под суммой я понимаю $\sum_{n=1}^{что-то}x_n$), тогда смотрим на разницу $S_{до}-S_{после}>0$, значит площадь под кривой Лоренца уменьшилась, коэффициент Джини увеличился.

Для лучшего понимания ситуации можно нарисовать график (завтра приложу).

Замечание 3: Кому удобнее, можете попробовать решить через площадь над графиком кривой Лоренца, в таком случае, во-первых, доход неудачника будет играть важную роль: будет образовывать прямоугольник со сторонами $\frac{\sum_{n=1}^{i}x_n}{\sum_{n=1}^{i}x_n}}=1$ и $\frac{1}{i}$, и во-вторых, будем прямая зависимость индекса Джини от площади

Если где-то опечатался/ошибся, поправьте, пожалуйста, а то уже трудно что-то разбирать.

UPD Исправил ошибки в конце $S_{до}$ и $S_{после}$

Не совсем согласен. Я не вполне понял третью дробь. Откуда после суммы доходов $l$ жителей, берётся сумма долей $k$ жителей с вычетом доли $x_m$(эта сумма по идее должна находиться "ниже")? Я считаю, что там должна стоять сумма $l$ жителей, с вычетом $(x_k + x_m)$. Мы фактически сдвигаемся на одного жителя "вниз" от суммы долей $l$ жителей, то есть должны вычесть долю стоящего "внизу", а этот "стоящий внизу" и есть везунчик.
Да, согласен, ошибся.

Но такое будет происходить только до жителя, который был раньше $k$-ым, после него пойдет тот, который ранее был $(k-1)$-ым жителем, доля дохода $(k-1)$ жителей составит $\frac{\sum_{n=1}^{k-1}x_n-x_m}{\sum_{n=1}^{i}x_n}$, это во-первых.
Во-вторых, такое будет происходить до того жителя, который раньше был $m$-ным, после него будет идти тот, что раньше был $(m-1)$-ым, и его ( $(m-1)$-го ) доля дохода будет как раньше.
В-третьих, сумма долей доходов жителей, которые будут идти с начала до везунчика составит $\frac{\sum_{n=1}^{l-1}x_n}{\sum_{n=1}^{i}x_n}$, так как по сути если там мы это отняли, то здесь прибавили.

В итоге, все равно будут присутствовать все суммы, а неравенство $S_{до}-S_{после}>0$ только усилится.
Справедливость восстановлена, Михаил, спасибо:)

Короче, мы с тобой сделали одно и то же, только ты через алгебру, а я через доказательство смещения графика вниз.
Запиши новую $S_после$. Мне всё-таки кажется, что она у тебя слишком простая. Там должно быть три 3 точки "перелома": в $k$, $m$ и $l$.
Да, именно эти три точки!

$$S_{после}=\frac{\sum_{n=1}^{i}x_n +\sum_{n=1}^{i-1}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{\sum_{n=1}^{i-1}x_n +\sum_{n=1}^{i-2}x_n }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+...+$$ $$+\frac{\sum_{n=1}^{l}x_n +\sum_{n=1}^{l-1}x_n}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{\sum_{n=1}^{l-1}x_n +\left(\sum_{n=1}^{l-1}x_n-x_m-x_k\right)}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+...+$$ $$+\frac{\left(\sum_{n=1}^{k+1}-x_m-x_k\right)+\left(\sum_{n=1}^{k}-x_m-x_k\right)}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot\frac{1}{i}+\frac{\left(\sum_{n=1}^{k}-x_m-x_k\right)+\left(\sum_{n=1}^{k-1}-x_m\right)}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot\frac{1}{i}+...+\frac{\left(\sum_{n=1}^{m}-x_m\right)+\sum_{n=1}^{m-1}}{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot\frac{1}{i}+...+$$ $$+\frac{\sum_{n=1}^{2}x_n+x_{1} }{2\sum_{n=1}^{i}x_n }\cdot \frac{1}{i}+\frac{x_{1}}{2\sum_{n=1}{i}}\cdot \frac{1}{i}$$

Хм, у тебя, по твоему же предположению, $x_{l-1}
Нет, сам подумай, у нас везунчик "поднялся" над $(l-1)$ жителем, то есть теперь он $(l-1)$, тот, что раньше был $(l-1)$-ым стал $(l-2)$-ым, а тот, что был $l$-ным жителем, так им и остался, то есть нужно отнимать именно от суммы $(l-1)$, ведь теперь в сумму $(l-1)$ не входит его доход $(x_m+x_k)$
Понял, я немного по-другому понял, куда именно везунчик "попал". Да, согласен.
А нельзя обосновать короче?

Если бедный имел доход (богатство) 0, то бедный и богатый просто "обменяются доходами" и кривая Лоренца не изменится.

Пусть теперь доход бедного был отличен от нуля.

Пусть без ограничения общности (для большей наглядности), бедный имел 2 единицы богатства, а богатый 7.

Теперь у бывшего бедного 9, а у бывшего богатого 0.

Проранжируем всех жителей по возрастанию доходов.

Рассмотрим (опять же без ограничения общности и чисто для наглядности) пример

до грабежа

1 2 4 5 7 8 10

после грабежа

0 1 4 5 8 9 10

Общее количество и доля людей, которые имели и имеют доход <=9 и их СОВОКУПНЫЙ доход не изменились, следовательно, с этого места (имеется в виду точка на оси абсцисс, соответствующая совокупной доле людей с доходом <=9, пусть это будет точка х*) новая кривая Лоренца совпадает со старой.

(Для нашего примера х*=6/N, где N общее население города)

С другой стороны, для любой точки по оси абсцисс, расположенной левее х* ( 5/N, 4/N, 3/N, 2/N, 1/N) СОВОКУПНЫЙ доход соответствующей доли жителей уменьшился, стало быть, новая кривая Лоренца расположена под старой (ведь совокупный доход ВСЕХ жителей остался прежним).

Получаем, что новая кривая Лоренца расположена ниже старой на участке от 0 до х* и совпадает со старой на участке от х* до 1. тем самым, после грабежа и перераспределения доходов коэф Джини уменьшиться не может.

зы. я для простоты предположил, что доходы всех жителей как до, так и после грабежа различны. можно разобрать более общий случай, когда существуют жители с совпадающими доходами, но суть доказательства от этого не изменится.