В некоторой стране правительство настолько увлеклось модернизацией экономики, что в ней осталось производство только двух товаров – гаджетов () и виджетов (). Соответствующая КПВ описывается уравнением
(количества гаджетов и виджетов могут выражаться не только целыми числами). После вступления в ВГТО (Виджето-Гаджетовую Торговую Организацию) страна открылась мировому рынку, на котором 1 виджет оценивается в 4 гаджета; при этом на мировом рынке можно обменять как любое количество виджетов на гаджеты, так и любое количество гаджетов на виджеты.
Найдите множество комбинаций которые теперь могут быть потреблены в стране. Изобразите это множество на плоскости и найдите уравнение его границы (эта граница иногда называется кривой торговых возможностей).
С наступлением эпохи войн и политической нестабильности ВГТО вводит против страны санкцию, согласно которой импорт виджетов в страну не может превышать 9 единиц. Как изменится в результате этой меры кривая торговых возможностей страны?
Ну, я подумала, что рациональнее всего будет дальше производить, как от точки касания вниз, т.е. если смотреть по исходной кпв, то с 36-ой по 96-ую единицу гаджетов. Тогда получим, что на этом отрезке мы произведем 6 дополнительных виджетов - точки (8;36) и (2;96) на кпв
Алексей, это все женская интуиция))
Потом уже я подумала про то, что не будет излома, т.е. тангенсы касательных должны совпасть
У меня получилось также, там же вроде получается парабола вида : , где - смещение параболы по оси абсцисс, нам известна точка на этой параболе , значит мы можем найти уравнение? Вроде с функцией правильно, может точка не правильная?
Дело в том, что исходная парабола смещается не только по оси абсцисс, но и по оси ординат (ведь виджеты мы экспортируем, но за это платим гаджетами!), поэтому формула не совсем верна.
"Кусок КТВ при - кусок исходной параболы" - верно!
Только надо понять что это за кусок, откуда он берется и как смещается) Мне кажется, Араик пока смещает не тот кусок.
Чтобы проверить свой ответ, возьмите какую-нибудь точку на предполагаемой КТВ, и попробуйте описать последовательность действий, которые должна предпринять страна, чтобы в итоге потребить в итоге эту комбинацию. Такой план действий должен включать два этапа:
1) Произвести такую-то комбинацию.
2) Обменять столько-то гаджетов на столько-то виджетов (или наоборот). Получившуюся итоговую комбинацию съесть.
Суть данной задачи - как раз найти множество всех комбинаций, которые можно в итоге съесть, предпринимая всевозможные такие планы действий.
Сразу спрошу мы можем основываться на том, что продолжение КТВ должно иметь тот же наклон, как и линейная функция до нее, это вроде следует из принципа построения) Дальше у нас точно есть точки и , т.к. это точки возможного потребления, для третьего уравнения я взял равенство производных у двух функций (соответственно для того, чтобы у кривых был одинаковый наклон). Решение наверно довольно странное, но оно имеет право на жизнь?
Сама идея использовать то, что в точке переключения должно быть равенство наклонов (наследуемое от точки касания из первого пункта) - хороша! Это почти очевидно, и я бы не стал "снимать" за отсутствие ее доказательства.
Но точка (9;64) не находится на том участке КТВ, который мы ищем (мы же вроде все согласились, что парабола имеет место при !
Точка возможного потребления еще не обязательно лежит на КТВ, правда? Так и получилось в нашем случае с точкой (9;64).
Тебе "повезло": ответ совпал по случайности) Ты с тем же успехом мог взять точку (9;65) (она тоже возможна), но тогда бы ты получил другой ответ!
Так что мораль: для восстановления уравнения некой кривой нужно брать точки, которые гарантированно лежат на ней. Точка возможного потребления - еще не обязательно точка на КТВ.
В целом у меня остались сомнения по задаче:
Я так понимаю, что точку w=11 мы получили так: собств производство=2 + Imp=9
А точку w=17 получаем из того что мы обменяли 9*4=36 гаджетов и у нас остается ресурсов на 64 гаджета и ли 6 виджетов (11+6=17).
Но мы же уже произвели 2 виджета, т.е. ресурсов осталось на 60 гаджетов???
17 получается так:
мы производим 36 гаджетов, отказываемся от 2 виджетов и получаем что можно произвести 8 виджетов. А на полученные 36 гаджетов получаем в мире 9 импортных - 8+9=17!?
Да, ОК. Но это просто доказательство того, что точку (0;17) можно получить, еще не доказательство того, что точка (0;17) лежит на КТВ. Почему виджетов точно не может получиться больше 17?
Мы знаем, что чтобы получить максимальное кол-во виджетов, мы обязательно должны обменять по мировой цене какое-то кол-во гаджетов.
Кол-во гаджетов исходя из КПВ, значит по мировой цене мы сможем получить витжетов. Мы так же знаем, что это число полученных витжетов за счет торговли ограниченно 9.
Тоесть ,
Общее кол-во виджетов (немного странно написано но суть понятна, первое слагаемое, виджеты полученные за счет торговли, а w это произведенные виджеты) на промежутке (0;2) Функция общих виджетов растет, на от 2 до +бесконечности убывает , поэтому с учетом ограничений максимум фукнции будет достигаться при , а значит максимальное значение `общих виджетов`
Надо доказать, что это будет именно парабола, и вообще обосновать кусочную форму новой КТВ). Правда, ничего заумного тут нет. Этим обоснованием являются естественные геометрические действия, которые и составляют суть решения задачи.
Если чесно я интуитивно понимаю решение с касанием, но обосновать его не очень могу точно. Поэтому решал так.
Просто прикинул, при какие максимумы получаются если мы производим только один товар.
Из тех же уравнений примерно, что я писал выше, получаем максимизацией, что w=26, g=104.Так как пропорция торговли у нас постоянная => это будет прямая проходящяя через точки (0;104) , (26;0).
Верно?
А можно так? Альтернативные издержки первого виджета 1, второго 3,значит мы и первый и второй виджет будем производить, получив 8 гаджетов (иначе меньше), при w>=2 будем производить только гаджеты, так как альтернативные издержки больше 4, и на эти гаджеты можем купить больше 1 виджета. Значит макс 104, а при обмене 1 на 4 получаем:g=104-4w
Рассуждения не очень понятны, хотя по своему духу они правильные.
В этой модели количества не только целые, поэтому анализа альтернативных издержек при увеличении выпуска одного из товаров на единицу недостаточно. Вдруг оптимально остановиться на количестве виджетов, равном 1,573?
Ну и "при w>=2 будем производить только гаджеты" - неверно.
И твой метод будет совсем строгим, если получше обосновать, что КТВ будет отрезком прямой. Как только мы это знаем - да, действительно, по двум точкам ее легко восстановить.
Уравнения которые дают нам точки максимумов КТВ по осям, показывают что оба эти максимума достигаются когда ктв проходит точку w=2,g=96. Поэтому наилучший вариант для нас это наборы (w;g) график которых проходит через (2;96) и касается КПВ. При таком наборе и фиксированной цене обмена ресурсов мы будет получать прямую, крайние точки которой как раз совпадут с (0;26) , (104;0). В остальных точках касания, максимальные а следовательно и все остальные наборы будут меньше нашей точек (w;g) , удовлетворяющим условию g=104-w.
Это просто удобный термин, чтобы как-то называть то, что я прошу найти в этой задаче.
Тогда же была в том, что не совсем естественно использовать КТВ при решении задач в духе "две страны торгуют" и запоминать ее как отдельную специальную концепцию. Здесь же данная аббревиатура пришлась к месту. Так что спасибо отцам-основателям)
10 виджетам соответствуют 64 гаджета. Точку (10;64) можно получить так (в действительности, это единственный способ, как ее можно получить): производим 2 виджета и 96 гаджетов (КПВ позволяет), затем докупаем 8 виджетов за 32 гаджета. У нас остается как раз 96 - 32 = 64 гаджета.
) и виджетов (
). Соответствующая КПВ описывается уравнением 
которые теперь могут быть потреблены в стране. Изобразите это множество на плоскости и найдите уравнение его границы (эта граница иногда называется кривой торговых возможностей).
Версия для печати
1. g=104-4w
ОК
2. g=104-4w , w<=9
w=9 , 19<=g<=68 (вертикальная прямая)
g=100-w^2 , w>9
???
А теперь не ОК. Правильную идею я вижу, но порог "переключения" с одной формулы на другую не w=9, да и справа от этого порога формула не такая.
точка переключения w=11?
тогда g=104-4w, w<=11
w=11 , 0<=g<=60
Точка переключения верна! А что правее?
не вертикальная прямая?
хотя еще остаются ресурсы в стране.
Что-то вроде участка параболы? (может g=181-w^2)
Надо только аккуратно понять, что это за парабола)
Пока правильного ответа нет. Вам может помочь вспомогательный вопрос: какова будет абсцисса крайней точки новой КТВ?
У меня абсцисса крайней получилась 17
А ты как получила 17?
Ну, я подумала, что рациональнее всего будет дальше производить, как от точки касания вниз, т.е. если смотреть по исходной кпв, то с 36-ой по 96-ую единицу гаджетов. Тогда получим, что на этом отрезке мы произведем 6 дополнительных виджетов - точки (8;36) и (2;96) на кпв
Алексей, это все женская интуиция))
Потом уже я подумала про то, что не будет излома, т.е. тангенсы касательных должны совпасть
Да уж, отличная интуиция)
Но все-таки хотелось бы видеть более-менее строгое доказательство того, что больше 17 никак не получить, да и вообще всего построения.
Подсказка: проще всего процесс построения объяснить геометрически, через параллельный перенос некого отрезка. Тогда все сразу встанет на свои места)
Ну да, я геометрически и переносила, я же написала в прошлом сообщении)
крайняя точка 11+корень из 40
уравнение параболы тогда
g=100.52-0.335w^2 (примерно с корнями)
У меня получилось также, там же вроде получается парабола вида :
, где 
- смещение параболы по оси абсцисс, нам известна точка на этой параболе 
, значит мы можем найти уравнение? Вроде с функцией правильно, может точка не правильная?
Вершина тоже смещается)
Дело в том, что исходная парабола смещается не только по оси абсцисс, но и по оси ординат (ведь виджеты мы экспортируем, но за это платим гаджетами!), поэтому формула
не совсем верна.
Мне кажется, Араик имел в виду не совсем это, а то, что кусок КТВ при
- кусок исходной параболы при 
, смещенный вправо
Я правильно поняла?)
"Кусок КТВ при
- кусок исходной параболы" - верно!
Только надо понять что это за кусок, откуда он берется и как смещается) Мне кажется, Араик пока смещает не тот кусок.
Чтобы проверить свой ответ, возьмите какую-нибудь точку на предполагаемой КТВ, и попробуйте описать последовательность действий, которые должна предпринять страна, чтобы в итоге потребить в итоге эту комбинацию. Такой план действий должен включать два этапа:
1) Произвести такую-то комбинацию.
2) Обменять столько-то гаджетов на столько-то виджетов (или наоборот). Получившуюся итоговую комбинацию съесть.
Суть данной задачи - как раз найти множество всех комбинаций, которые можно в итоге съесть, предпринимая всевозможные такие планы действий.
Я вроде как это и пытался сделать, видимо где-то напутал, сейчас попробую пересчитать)
Так?
да, только 11 включи куданить)
Я не знаю как :)))
Права Василиса)
G=-w^2+18w-17
Агаа) И у меня:)
Как вы это сделали?) Я уже битый час пробую, а не получается, что я упускаю?)
Ууу, магияя
Ты упускаешь, что именно на этом куске КПВ свет клином не сошелся)
Может, тебе поможет то, что ту же формулу можно записать как
?
Формула помогла не до конца, но я сделал довольно странным способом.
Даже стыдно за такое решение))
Поясни, пожалуйста)))
Сразу спрошу мы можем основываться на том, что продолжение КТВ должно иметь тот же наклон, как и линейная функция до нее, это вроде следует из принципа построения) Дальше у нас точно есть точки
и 
, т.к. это точки возможного потребления, для третьего уравнения я взял равенство производных у двух функций (соответственно для того, чтобы у кривых был одинаковый наклон). Решение наверно довольно странное, но оно имеет право на жизнь?
Ого
Никогда бы мне такое в голову не пришло)
Сама идея использовать то, что в точке переключения должно быть равенство наклонов (наследуемое от точки касания из первого пункта) - хороша! Это почти очевидно, и я бы не стал "снимать" за отсутствие ее доказательства.
Но точка (9;64) не находится на том участке КТВ, который мы ищем (мы же вроде все согласились, что парабола имеет место при
!
Точка возможного потребления еще не обязательно лежит на КТВ, правда? Так и получилось в нашем случае с точкой (9;64).
Тебе "повезло": ответ совпал по случайности) Ты с тем же успехом мог взять точку (9;65) (она тоже возможна), но тогда бы ты получил другой ответ!
Так что мораль: для восстановления уравнения некой кривой нужно брать точки, которые гарантированно лежат на ней. Точка возможного потребления - еще не обязательно точка на КТВ.
Ну тогда можно воспользоваться тем, что сказал Филипп, что
всегда, т.к. технология неизменна)
Восстановил параболу по трем точкам - вполне нормальный математический прием) Хотя действительно, он здесь не вполне нужен)
Какие точки ты взял?
Я в принципе тоже восстанавливал по точкам
Только по двум, т.к коэффициент при x^2 =-1, т.к. технология в стране не меняется
Я из-за этого убил минут 5 на поиск 3 уравнения))
Одна я чтоли не по точкам подбирала?(
Коэфф при w^2 сохраняется , тоесть -1
Вершина сдвигается на 9, последний коэфф. ищется подстановкой точки, я так искал.
Часа мало. Я целый день решал))
И у меня)
В целом у меня остались сомнения по задаче:
Я так понимаю, что точку w=11 мы получили так: собств производство=2 + Imp=9
А точку w=17 получаем из того что мы обменяли 9*4=36 гаджетов и у нас остается ресурсов на 64 гаджета и ли 6 виджетов (11+6=17).
Но мы же уже произвели 2 виджета, т.е. ресурсов осталось на 60 гаджетов???
Точку 17 мы получаем на оставшиеся возможности КПВ.
Ну наверное предполагается, что мы можем перепроизвести виджеты в гаджеты))
Мы ничего не перепроизводим. Все проще.
Мы
1) сначала производим, сколько хотим, исходя из своей КПВ;
2) меняем произведенное на что-то другое.
То есть после обмена у нас остается на руках только готовая продукция, никаких "ресурсов".
Точка 11 находится как 2+9, но это еще не вполне объяснение)
Точка 17 находится совсем не как 11+6.
17 получается так:
мы производим 36 гаджетов, отказываемся от 2 виджетов и получаем что можно произвести 8 виджетов. А на полученные 36 гаджетов получаем в мире 9 импортных - 8+9=17!?
Да, ОК. Но это просто доказательство того, что точку (0;17) можно получить, еще не доказательство того, что точка (0;17) лежит на КТВ. Почему виджетов точно не может получиться больше 17?
Мы знаем, что чтобы получить максимальное кол-во виджетов, мы обязательно должны обменять по мировой цене какое-то кол-во гаджетов.
значит по мировой цене мы сможем получить 
витжетов. Мы так же знаем, что это число полученных витжетов за счет торговли ограниченно 9.
, 
(немного странно написано но суть понятна, первое слагаемое, виджеты полученные за счет торговли, а w это произведенные виджеты)
на промежутке (0;2) Функция общих виджетов растет, на от 2 до +бесконечности убывает , поэтому с учетом ограничений 
максимум фукнции будет достигаться при 
, а значит максимальное значение `общих виджетов` 
Кол-во гаджетов исходя из КПВ,
Тоесть
Общее кол-во виджетов
Да, отлично)
Кстати, мы же брали кусок параболы после луча КТВ тоже на веру так сказать?) Получается его наличие тоже надо доказать?)
Надо доказать, что это будет именно парабола, и вообще обосновать кусочную форму новой КТВ). Правда, ничего заумного тут нет. Этим обоснованием являются естественные геометрические действия, которые и составляют суть решения задачи.
Кстати, как ты решал первый пункт?
Если чесно я интуитивно понимаю решение с касанием, но обосновать его не очень могу точно. Поэтому решал так.
Просто прикинул, при какие максимумы получаются если мы производим только один товар.
Из тех же уравнений примерно, что я писал выше, получаем максимизацией, что w=26, g=104.Так как пропорция торговли у нас постоянная => это будет прямая проходящяя через точки (0;104) , (26;0).
Верно?
А можно так? Альтернативные издержки первого виджета 1, второго 3,значит мы и первый и второй виджет будем производить, получив 8 гаджетов (иначе меньше), при w>=2 будем производить только гаджеты, так как альтернативные издержки больше 4, и на эти гаджеты можем купить больше 1 виджета. Значит макс 104, а при обмене 1 на 4 получаем:g=104-4w
Рассуждения не очень понятны, хотя по своему духу они правильные.
В этой модели количества не только целые, поэтому анализа альтернативных издержек при увеличении выпуска одного из товаров на единицу недостаточно. Вдруг оптимально остановиться на количестве виджетов, равном 1,573?
Ну и "при w>=2 будем производить только гаджеты" - неверно.
Оригинально)
И твой метод будет совсем строгим, если получше обосновать, что КТВ будет отрезком прямой. Как только мы это знаем - да, действительно, по двум точкам ее легко восстановить.
Уравнения которые дают нам точки максимумов КТВ по осям, показывают что оба эти максимума достигаются когда ктв проходит точку w=2,g=96. Поэтому наилучший вариант для нас это наборы (w;g) график которых проходит через (2;96) и касается КПВ. При таком наборе и фиксированной цене обмена ресурсов мы будет получать прямую, крайние точки которой как раз совпадут с (0;26) , (104;0). В остальных точках касания, максимальные а следовательно и все остальные наборы будут меньше нашей точек (w;g) , удовлетворяющим условию g=104-w.
Леш, а меня убеждал, что тема КТВ вообще не тема, а придуманное нечто Любимовым,Мицкевичем и другими отцами-основателями)))
Это просто удобный термин, чтобы как-то называть то, что я прошу найти в этой задаче.
Тогда же была в том, что не совсем естественно использовать КТВ при решении задач в духе "две страны торгуют" и запоминать ее как отдельную специальную концепцию. Здесь же данная аббревиатура пришлась к месту. Так что спасибо отцам-основателям)
А какое количество гаджетов соответствует 10 виджетам на вашей ктв? как это можно получить например?
у меня все получилось также, как и у вас, за исключением ситуации с 10 виджетами.
10 виджетам соответствуют 64 гаджета. Точку (10;64) можно получить так (в действительности, это единственный способ, как ее можно получить): производим 2 виджета и 96 гаджетов (КПВ позволяет), затем докупаем 8 виджетов за 32 гаджета. У нас остается как раз 96 - 32 = 64 гаджета.
Спасибо, а то все никак не могла подобрать способ! у меня 63 получалось..
Выложил "официальное" решение.