Маржинальный анализ во всей красе

Спрос на продукцию монополиста внутри страны задан функцией $Q^D (P_h ) = 100 - P_h$ , где $P_h$ – цена на внутреннем рынке. Функция издержек монополиста имеет вид: $TC(Q) = Q^2 /2$ . Монополист может продавать свою продукцию как на внутреннем рынке, так и на конкурентном рынке за рубежом по цене $P_f$ . Монополист выбирает объем производства и объёмы продаж на двух рынках, максимизирующие его прибыль.
(а) Докажите, что суммарный объем продаж монополиста не может быть равным нулю ни при какой $P_f$ .
(б) Докажите, что монополист получает на каждом рынке, где он продает свою продукцию, одну и ту же выручку от продажи последней ее единицы, которая к тому же не ниже выручки от продажи первой единицы на том рынке, где продаж нет.
(в) Докажите, что на каждом рынке, где осуществляются продажи, выручка от продажи последней единицы будет равна предельным издержкам производства последней единицы.
(г) Докажите, что монополист будет продавать на отечественном рынке тогда и только тогда, когда цена на зарубежном рынке будет ниже 100.
(д) Как зависит объем продаж на отечественном рынке от цены за рубежом, если продажи на обоих рынках положительны?

Решение и ответ

а) Пусть мы продаём ноль единиц на обоих рынках. Тогда наша прибыль равна нулю. Это не максимальная прибыль: например, если вместо этого мы будем продавать 1 единицу на внутренний рынок, то получим прибыль $(100-1)\cdot 1-1^2/2$ , что больше нуля.

б) Раз не сказано иного, то будем полагать, что выпуск в данной задаче может принимать любые неотрицательные значения (например, можно произвести $\pi$ "единиц"). Стало быть, под "выручкой от продажи последней единицы" подразумевается предельная выручка (производная общей выручки) при Q, равном объёму продаж.

Пусть на двух рынках мы продаём положительные объёмы $Q_1$ и $Q_2$ , и при этом $MR_1(Q_1)>MR_2(Q_2)$ . Докажем, что в этом случае можно увеличить прибыль. Рассмотрим маленькие изменения объёмов продаж $\Delta Q_1>0$ и $\Delta Q_2=-\Delta Q_1$ . Суммарный объём продаж не изменился, поэтому издержки не изменились. Запишем суммарное изменение выручки:
$\Delta TR_1+\Delta TR_2=\frac{\Delta TR_1}{\Delta Q_1}\Delta Q_1+\frac{\Delta TR_2}{\Delta Q_2}\Delta Q_2=\Delta Q_1(\frac{\Delta TR_1}{\Delta Q_1}-\frac{\Delta TR_2}{\Delta Q_2})$
Величина в скобках стремится к числу $MR_1(Q_1)- MR_2(Q_2)>0$ при $\Delta Q_1\to 0$ . Это значит, что мы можем подобрать такое достаточно близкое к нулю $\Delta Q_1$ , чтобы величина в скобках отличалась от своего предела не больше, чем, скажем, на 99%. Это будет гарантировать, что величина в скобках положительна (иначе ей надо было бы отличаться от своего предела не меньше, чем на 100%). При этом $\Delta Q_1$ , хоть и близко к нулю, но всё равно остаётся положительным. Перемножив два положительных числа, мы получим положительный прирост выручки. При неизменных издержках он равен приросту прибыли.

Заметим, что для этого доказательства существенно, чтобы объём продаж, соответствующий меньшему MR, был положительным, т. к. мы в процессе доказательства уменьшаем этот объём. Равным образом для доказательства существенно, что мы можем увеличить объём продаж, соответствующий большему MR, однако это менее интересно, т. к. обычно мы не накладываем на объём продаж ограничений сверху.
Если же при оптимальном распределении на каком-то рынке объём продаж нулевой, то предельная выручка на нём может быть и меньше, чем на остальных рынках. А вот больше, чем на каком-либо из рынков с положительным объёмом продаж, она быть не может: иначе мы могли бы перераспределить небольшой объём продаж с другого рынка на этот и тем самым увеличить прибыль.

в) Возьмём любой из этих рынков (рынок i) и рассмотрим небольшое изменение выпуска $\Delta Q$ . Рассуждения аналогичны предыдущему пункту: изменение прибыли составит $\Delta TR_i-\Delta TC=\Delta Q(\frac{\Delta TR_i }{\Delta Q }-\frac{\Delta TC }{\Delta Q })$ . Величина в скобках стремится к $MR_i(Q_i)-MC(Q)$ при $\Delta Q\to 0$ . Если эта разность больше нуля, то нужно взять небольшое положительное $\Delta Q$ ; если разность меньше нуля, то нужно взять небольшое по модулю отрицательное $\Delta Q$ . Это позволит увеличить прибыль.

г) Продав первые $\Delta Q$ единиц на внутреннем рынке, мы получаем примерно $\MR_h(0)\cdot \Delta Q=100\Delta Q$ . Продав первые (да и любые) $\Delta Q$ на внешний рынок, мы получаем $\MR_f(0)\cdot \Delta Q=P_f\cdot \Delta Q$ . Если $P_f>100$ , то внутренний рынок нам вовсе не нужен. Если $P_f<100$ , то какой-то (возможно, очень маленький) объём мы обязательно продадим на внутреннем рынке, т.к. получим от этого большую выручку, чем если бы мы продали этот объём на внешний рынок.

д) Если объёмы на обоих рынках положительны, то соответствующие эмэры равны.
$MR_f(Q_f)=MR_h(Q_h)$
$P_f=100-2Q_h$
$Q_h=\frac{100-P_f}{2}$

Если при этом есть возможность реализовывать по 100+ на внешнем рынке, да ещё и неограниченно (совершенная конкуренция), то весь товар, что удастся произвести (ограничиваясь лишь функцией предельных издержек) нужно перебросить туда.

Если же цена на внешнем рынке ниже 100, нужно продавать на внутреннем (по большей цене) тот объем, который позволит поглотить функция внутреннего спроса. При Р<100 это значение больше нуля.