Монополия: выбираем цену

На монопольном рынке две группы потребителей. Спрос первой группы описывается уравнением $Q = \frac{{2008}} {{P^{1,25} }}$ , спрос второй группы - уравнением $Q = \frac{{2008}} {{P^{2,25} }}$ . Предельные издержки монополиста постоянны и равны $1$ . Найдите монопольную цену в отсутствие дискриминации.

Решение и ответ

Функция рыночного спроса: $Q_d = \frac{2008}{P^{2,25}} + \frac{2008}{P^{1,25}}$ .
Как можно убедиться, в данном случае невозможно явным образом выразить $P$ через $Q$ , получить функцию $MR(Q)$ и решить стандартную задачу монополиста... Как выйти из положения?
Идея заключается в том, что, поскольку цену назначает сам монополист, он может максизировать прибыль именно как функцию от цены.
$MC = const = 1 \Rightarrow TC(Q) = Q + FC$ .
$\pi (P) = P \cdot Q_d (P) - TC(Q_d (P)) = \\=P\left( {\frac{{2008}} {{P^{1,25} }} + \frac{{2008}} {{P^{2,25} }}} \right) - \left( {\frac{{2008}} {{P^{1,25} }} + \frac{{2008}} {{P^{2,25} }}} \right) - FC \to \max$
Или:
$\pi (P) = \frac{{2008}} {{P^{0,25} }} - \frac{{2008}} {{P^{2,25} }} - FC \to \max$
$\pi ' = 2008\left( {\frac{{2,25}} {{P^{3,25} }} - \frac{{0,25}} {{P^{1,25} }}} \right) = 0 \Rightarrow 2,25 = 0,25P^2 \Rightarrow P = 3.$

Ответ:

$3$ .

Неудивительно) Вот она, сила Лернера!
Кстати, один из способов вывести формулу индеса Лернера (для точки оптимума) - это как раз записать прибыль как функцию от цены, промаксимизировать ее, приравняв производную по $P$ к нулю, и чуть-чуть преобразовав получившееся выражение. Попробуйте проделать это в качестве упражнения.