Дядя Фёдор купил чудо-комбайн, который в качестве ресурса использует молоко, а на выходе даёт квас и лимонад. Точнее, не один, а целых два таких комбайна – разных марок. На рисунке A изображены КВП этих двух комбайнов в координатах квас/лимонад; каждая КПВ – в расчёте на 1 литр молока. Если же влить в комбайн меньше литра молока, то количество продукта уменьшается.
Каждый комбайн работает так: сначала Дядя Фёдор выбирает точку на КПВ комбайна (соответствующей 1 литру), а затем вливает в комбайн 1/k литров (k – любое действительное число, не меньшее единицы), и получает в k раз меньше каждого продукта, чем в указанной им точке.
У Дяди Фёдора всего 1 литр молока, и он распределяет его между двумя комбайнами.
Требуется нарисовать общую КВП от использования двух комбайнов. А потом проделать то же самое для случаев B и C.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Все же мне кажется Григорий подразумевал какой-то иной способ.Но без движения графиков у меня что-то не выходит никак.
Значит для случая $A$:
При любом $k$(понятно что $k=1$ отражает частный случай из данной ситуации), если суммировать $КПВ$ получится как показано на рисунке, где точка $М$ двигается по изначальной красной прямой(фиолетовая прямая - часть красной) следовательно при любом $k$ ни одна точка полученной $КПВ$ не лежит за красной прямой, следовательно она и отражает оптимальные сочетания кваса и лимонада.
Для $Б$:
Аналогичные рассуждения с построением эскиза.
Далее либо вспомним обоснование из прошлой темы о том, почему именно точка $N$ отражает "наилучшее" производство при каждом $k$, либо (возможно напишу то же, что и Григорий писал, если так - извините за невнимательность)
заметим, что при изменении $k$ ордината и абсцисса точки N меняются с разным знаком(т.е. ордината растет, абсцисса уменьшается и наоборот), поэтому при каждом $k$ точка $N$ отражает сочетание кваса и лимонада недостижимое при других $k$, следовательно множество точек $N$ при каждом $k$ задают $КПВ$, при этом абсцисса и ордината точки $N$ зависят друг от друга линейно(могу привести мат. доказательство), следовательно $КПВ$ - прямая, при этом она проходит через 2 граничные точки.
В пункте Б, напротив, выпуклая кривая на эскизе не есть участок выпуклой индивидуальной кпв; когда мы увеличиваем долю нелинейного комбайна, точка N смещается вправо-вниз, и затем из точки N мы пускаем линейную кпв с неизменным наклоном; при этом теоретически точка N может сместиться сильно вправо - так, что итоговая кпв пройдёт выше старой точки N. Требуется отдельное доказательство того, что так не произойдёт, и фраза "вспомним обоснование из прошлой темы о том, почему именно точка N отражает "наилучшее" производство при каждом k" некорректна, т.к. здесь доказательство хоть и похоже, но всё же отличается.
Аккуратное доказательство "того, что так не произойдёт", которое я себе представляю, основано на той же идее, на основе которой все эти задачи решаются мгновенно, так что попробуй сам придумать аккуратное доказательство.
Я не совсем разобрал что ты имел в виду, когда писал о смещении точки M "сильно вправо", но попробую разобраться, в чем суть...
Т.е. например на некотором этапе можно такой вывод сделать : если пр-ва комбайнов обратно пропорциональнозависимы и макс. производство одного блага у них равны - то итоговая КПВ - прямая через 2 точкиmax
P.S.Появилась слегка новая идея)
Твои дополнения по рисунку я учел.
Отсюда недалеко до доказательства, которое я жду:)
а доказательство того что красная точка по прямой едет - оно весьма очевидно, я поэтому и не стал писать.
Только я теперь не понимаю что еще тут нужно доказать?)
Точка по прямой - доказали, что синяя всегда ниже - понятно. Красная линяя - прямая, что еще?)
"Отсюда недалеко до доказательства, которое я жду:)" - это я про другой способ решения всех этих задач, более простой и изящный.
А так ещё есть пункт C, можно пока что его решить - хоть каким-нибудь способом.
Как решал?
Соединяем точки:
точку пересечения кривой A с осью 1 и точку пересечения кривой B с осью 2
точку пересечения кривой A с осью 2 и точку пересечения кривой B с осью 1
Обводим верхний контур из получившихся отрезков и изначальных кривых, он и будет итоговым КПВ?
Сохраним интригу до 14 апреля. Решение этой задачи будет мои главным "сюжетом":)
Я доказал, что произведя на одном комбайне максимум кваса, а на другом максимум лимонада мы (через теорему Фалеса) окажемся как рас на одном из отрезков!
Т.е. точка на отрезке как рас соответствует тому, что в один мы влили 1/k, а в другой 1-1/k, при этом на каждом производили один продукт!!!
вроде просто, еще проще?
КПВ двух комбайнов произвольной формы. Как построить общую КПВ?
Соединяем максимум первого комбайна в пр-ве товара 2 с максимумом второго комбайна в пр-ве товара 2
Имеем множество точек, 4 графика : два отрезка и две кпв
Обводим контур из тех точек, что наиболее удалены от 0;0. - как бы внешний контур.
Этот контур и есть ВВП
Пусть у нас эта штука выглядит как бюджетное ограничение и изокванта с максимальной полезностью. Свойство выполнится? :)
Дан, значит отодвинется)
Не отодвинется - тогда докажи это, ну или найди другой способ построения КПВ)
Апдейт
Григорий, ну это сплошное расстройство)) не очень то сработало, могу конечно предположить, что нужно вообще соединить различные пары точек на этих кривых чтобы получить "максимальный контур.
Что же мне теперь делать?))
Если ты (или кто-нибудь) напишешь универсальный способ с доказательством, то я скажу "верно"; в противном случае буду молчать до Сюжетов.
выбрав (см. условие, где мы сначала выбираем на КПВ точку) по одной точке на каждой изначальной кривой, мы можем перемещаться по отрезку, соединяющему эти две точки, переливая потихоньку молоко из одного комбайна в другой.
Таким образом любой отрезок соединяющий две точки принадлежащие разным КПВ отражает множество возможных комбинаций выпусков.
Подробности опишу завтра)
Дерзайте
Т.е. сначала в первый комбайн литр молока, а во второй 0, и постепенно перекачиваем молоко:)
А вообще я раньше задачу не смотрел, только сейчас прочитал - выглядит круто) Только почему она культурный отдых дубль 3? Ведь предыдущая была про точки 5;0 и 3;3?
Первый дубль - твоя задача, второй - "Культурный отдых. Abridged", третий дубль - эта задача. По сути все они одно и то же.
"сначала Дядя Фёдор выбирает точку на КПВ комбайна (соответствующей 1 литру), а затем вливает в комбайн 1/k литров (k – любое действительное число, не меньшее единицы), и получает в k раз меньше каждого продукта, чем в указанной им точке."
Если действовать, как в условии, то необходимо для каждой точки выбирать k. Так как точек бесконечно много, то 1 литра не хватит. Поясните, я по-настоящему не понял.
Так и здесь.