В стране Хаусхолдии есть два домохозяйства. Страна живет 2 периода, и домохозяйства максимизируют свое удовольствие от потребления: $U=\ln(a)+D*\ln(b)$, где $a$ и $b$ - потребление в первый и второй периоды соответственно, а $D$ - некий коэффициент, принадлежащий [0:1]. Доходы первого и второго домохозяйств в каждый период равны соответственно $i_1$ и $i_2$, причем $i_1+i_2=10$ (то есть суммарный доход за два периода составит 20), и это распределение известно семьям. Каждая семья тратит все свои доходы либо на потребление, либо на предоставление кредита другой семье, либо на выплату этого кредита с процентами (по общей договоренности).
a)Определите размер кредита $C$ и ставку процента $r$ в зависимости от $D$, $i_1$ и $i_2$.
б) Решите задачу для различных $D_1$ и $D_2$.
в) Пусть теперь финансовые операции проходят через банк, который взимает процент $c \in [0;1)$ от суммы кредита с заемщика. Определить сумму кредита и ставку процента.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Считаем $C$ любой действительной величиной в пределах разумного, причём отрицательная выдача кредита будет означать взятие в долг.
$i_{1,2}=a_{1,2}\pm C=b_{1,2}\mp (1+r)C \Rightarrow$
$\Rightarrow U_{1,2}=ln(i_{1,2}\mp C)+Dln(i_{1,2}\pm (1+r)C)\rightarrow \underset{C\in \mathbb{R}}{max}$
$C^*=\frac{i_1D(1+r)-i_1}{(1+r)(1+D)}=\frac{i_2-i_2D(1+r)}{1+r)(1+D)}$ <...доказательство max...>
Учитывая $i_1+i_2=c$, получаем $1+r=\frac{1}{D}$ и $C^*=0$.
Вроде бы достаточно интуитивный результат при одинаковых $D_i$, постоянных доходах по периодам и "хороших" функциях полезности.
Пункт в) - по сути, рассмотрение случаев, когда кто заёмщик? Эта алгебра уже немного пугает :)