Может ли предельная выручка возрастать, в то время как спрос, как ему и положено, убывает? А может она не просто возрастать, а быть на некотором отрезке положительной?

Комментарии

Выводим в общем виде? =) или, все-таки, по-божески все?
Я могу привести примеры функций, а также привести необходимое для всех этих функций условие.
А что это за общий вид такой? Видимо, скорее по-божески:)
Школьники, будьте на чеку! White_brother караулит свежие задачи и тут же их решает! Постарайтесь его опередить!
Ну, если ответ будет «нет», то придется в общем виде, а вот если «да», то, видимо, по-божески — пример привести ;)
Нет, ну я оставлю школьникам задачку на "подумать")))
Подсказка: пример такой функции есть в одном из тестов со всероссийской олимпиады какого-то года. =)
товар бесконечно делим? это может повлиять на ряд функций

и все же решение подбором - не решение :) а строгий вывод остается за рамками школьной программы, поскольку упирается в дифуры. решения без них я пока не вижу.(

Товар бесконечно делим, да.
"и все же решение подбором — не решение :)" - не могу согласиться. Как минимум, что касается "решения" в смысле слов, записанных на бумаге. Если задача звучит так "Все ли лебеди белые", и вы подбором, без диффуров, наши чёрного лебедя и предъявили мне, то я скажу "задача решена".
Что же касается "решения" в смысле вида деятельности (типа "я увлечён решением задачи"), то вашу фразу можно воспринимать так, что вы не считаете решение подбором достойным занятием. Это уже дело вкуса, но я, например, люблю искать корни квадратного уравнения подбором, проверяя их по теореме Виета.

Ну ладно, это всё шуточки:) Так что там у вас за диффуры, колитесь? Мне очень любопытно!

скорее всего функция спроса это вид тригонометрической функции.Я думая P=1/sinQ (при Q больше 0 и меньше или равно П/2)
отсюда TR=Q/sinQ ,возьмём производную ,
MR=( sinQ-cosQ*Q )/sin^2Q ,осталось проверить возрастает она или нет,например, Q1=П/2 Q2=П/3 Q1>Q2 , если MR(Q1)>MR(Q2) то функция возрастает,проверим, MR(П/2)=1
MR(П/3)=(6*3^1/2-2п)/9 =0.488 т.е MR(Q1)>MR(Q2).
Возможно я где-то что-то напутал)))
Браво, Сурен, очень похоже на правду, но ты перемудрил.
Хотя это очень круто, что ты нашел такую функцию, у которой выручка растет по Q ускоряющимся темпом.
А найди теперь решение в обычных алгебраических функциях. тебе важно ведь только то, что MR возрастает, о его знаке не идет речи. =)
Спасибо.Сейчас этим займусь.
если в алгебраических функциях то , 1/Q^2-4=P ( при Q больше нуля и меньше единицы) тогда TR=1/Q -4Q MR=-1/Q^2-4 например Q1=1/6 Q2=1/10 , тогда MR(Q1)=-40 MR(Q2)=-104 Q1>Q2 MR(Q1)>MR(Q2).
А если вместо -4 взять что-нибудь положительное, то MR получится не только возрастающим, но и положительным (как и в примере Сурена).
Кстати, всем рекомендую программку Advanced Grapher, с помощью которой удобно строить графики.
Ну теорема Виетта все же не подбор, на то она и теорема :)
теперь по поводу решения:
MR=d(p(Q)*Q)=dp/dQ*Q+p, в дальнейшем буду писать р, вместо р(Q) для экономии времени и места, хотя, конечно же, мы будем понимать, что р=р(Q).
d(MR)=d^2p/dQ^2*Q+2dp/dQ>0, так как MR возрастает (хотя, конечно, неотрицательно, по необходимому условию, но мы сузим класс рассматриваемых функций, воспользовавшись достаточным условием возрастания). при этом мы понимаем, что слагаемое 2dp/dQ - отрицательно (вновь сужаем класс, воспользовавшись достаточным условием), таким образом, слагаемое d^2p/dQ^2*Q - положительно для любых положительных Q. Отсюда сразу же следует неравенство:
d^2p/dQ^2*Q>-2dp/dQ, далее положим dp/dQ=y, тогда d^2p/dQ^2 = y', y<0
решением данного неравенства будет множество решений всех дифференциальных уравнений вида y'Q=-2y+g(Q), где g(Q)-положительная на области определения функция. положим для простоты g(Q)=-y.
y'Q=-3y => dy/y=-3(dQ/Q) => интегрируем :) => ln(-y)=lnQ^(-3)+c, знаки модуля я позволил себе раскруть в уме.y=p'= -(e^c)*Q^(-3), пусть (e^c)=2 => и вновь это сокральное действие :) => p(Q)=Q^(-2)+k.
Ну вот и все :)
А теперь Advanced :) что-то у меня руки зачесались в общем виде все вывести :) для определенности int{f(x)}dx обозначает ингеграл функции f(x) по dx.
y'+2/Q=g(Q) => Q^2*y'+2Q*y=Q^2*g(Q) => (Q^2*y)'=Q^2*g(Q) => Q^2*y=int{Q^2*g(Q)}dQ+c => y=(int{Q^2*g(Q)}dQ+c)/Q^2 => p=int{(int{Q^2*g(Q)}dQ+c)/Q^2}dQ + k, где k,c - произвольные константы, g(Q)>0, при любом Q>0.
Круто! Я и не подумал, что неравенство можно так искусно превратить в равенство и с помощью этого действительно решить в общем виде. Снимаю шляпу!
Кстати, я когда-то видел такой приём при обсуждении теоремы Куна-Таккера (про условную оптимизацию при ограничениях в виде неравенств).
Гриш, нам в это пока можно не вникать?
Сейчас прочитал внимательно и понял, что тоже дошел до неравенства. Но что с ним делать, так и не понял.
Да, школьникам можно пока не вникать :) хотя ничего особо сложного там нет, весь ход решения дифуров(там самые простые получаются) в решении изложен. Если есть желание и терпение, можно попробовать разобраться.
Неравенство же сводится к уравнению. Поскольку нам необходимо, чтобы $\frac{d^2p}{dQ^2}+2\frac{dp}{dQ}>0$ при всех Q, то достаточно, чтобы это выражение равнялось любой положительной функции g(Q).
Хорошо, но ведь приравнивая к g(Q)=-у вы находите не все функции, которым соответствует возрастающая MR, а только часть таких функций.
Ведь Suren нашел тригонометрическую функцию, которая подходит под условие и не описывается функцией p(q)=Q^(-2) + k.
В Advanced есть более общий случай (хотя и не общий, поскольку возможна монотонность функций, даже при обращении производных в 0), первый пост - слишком частный случай. А тригонометрическая функция выполняется лишь на интервале, и кстати из условия g(Q)>0 становится понятно, почему :) вообще, конечно, если рассматривать не на всем положительном множестве Q, а на определенных интервалах, то можно и не такое намудрить :) например, функция g(Q), может быть интегрируема, несмотря на бесконечное количество разрывов в окрестности какой-либо точки :) ну это уже так - математические изыски, не забивайте себе пока голову :)
Ну это понятное дело, откуда следует, что тригонометрия на интервале только подходит.
Просто я подумал, что там прям в ОБЩЕМ виде вывод, вот и испугался. =)
Но вообще метод с введением функции интересный, это правда. =)
Спасибо.
:) нет, вид действительно общий, правда он содержит парочку интегралов, 2 произвольные константы и произвольную положительную функцию. за рамками моего ответа остаются лишь монотонные функции, для которых не выполняется достаточное условие, хотя этот узкий момент тоже можно обойти, учитывая, что ни в какой окрестности точки, в которой производная обращается в 0 у монотонной функции, производная не может равняться нулю тождественно :) таким образом, исключая эти точки из рассмотрения (или доопределяя их по нашему усмотрению, так как изменение значения функции в конечном числе точек не влияет на значение интеграла), можем рассмотреть функцию на интервалах. тогда ответ охватывает все функции :)
Дима, так здесь достаточно школьных средств. Ты, должно быть, испугался обозначения производной через отношение дифференциалов.
Условие нестрогого возрастания MR: $MR(q)'=(p(q)\cdot q)''=p''(q)\cdot q+2p'(q)\geq 0$. Обозначим $y(q)=p'(q)$. Имеем $y'(q)\cdot q+2y(q)\geq 0$, что эквивалентно тому, что $y'(q)\cdot q+2y(q)=g(q)$, где $g(q)\geq 0$ на нужном нам участке. Для краткости опустим аргумент (q) у всех функций. Домножаем обе части на q:
$y'q^2+2qy=qg$ (тут q – аргумент, остальные буквы – значения соответствующих функций в точке q). Заметим:
$(q^2y)'=qg$. Кстати, для пущей краткости заменим $h(q)=qg(q)$, т.к. при интересующих нас положительных q условия $g(q)\geq 0$ и $h(q)\geq 0$ эквивалентны.
$(q^2y)'=h$. Записано тождество (на некотором интервале q), поэтому тождественны будут и интегралы от обеих частей:
$q^2y=\int h(q)dq +c$, где под $\int h(q)dq$ подразумевается какая-нибудь первообразная (а не все сразу, как мы обозначали в школе). Делим на $q^2$, вспоминаем, что $y=p'$ и интегрируем ещё раз, получая:
$p=\int \frac{1}{q^2}(\int h(q)dq+c)dq+k$. Подставляя разные неотрицательные h(q), получаем разные хорошие спросы.
кстати, косяк заметил :) $\int{h(q)}\,dq+c<0$, а то мы забыли уже про условие убывания спроса :)то есть "с" не совсем произвольна :)
Верно замечено. Но тогда уж и константу k не обижай: она тоже не совсем произвольна - не должна быть слишком отрицательной.
Хорошо. так догнал))) Только в школе не учат тождеству интегралов и производных, но тут в это можно въехать)))
Кстати, недавно столкнулся с подобной задачкой, захотел вернуться к ней.
Так же при убывающем спросе MR может возрастать в кусочно - линейных функциях. Вот =)
Без разрыва?Пример можешь привести?
Ну, наверное, можно, впринципе, подобрать, что спрос будет кусочно - линейным, а $ MR $ будет без разрыва, не думал, но я имел ввиду такие функции, что $ MR $ тоже будет с разрывами. Конечно, такие функции подобрать - нет проблем. Например, первая часть функции спроса представляет из себя гиперболу: $ Q_d = \frac{a}{P} $, $ MR = 0 $, а второй кусок, скажем, линейный: $ Q_d = b - cP $, где $ MR > 0 $ при $ Q < \frac{b}{2} $.
А я, кстати, сейчас подумал - как пример может быть ещё функция $ Q_d = \frac{a}{P^{0,5}} $. Тогда $ MR = -\frac{a^2}{Q^2} $. Соответственно, это что - то убывающее по модулю, но возрастающее в абсолютной величине при увелечении $ Q $, и, следовательно, уменьшении $ P $.

А над кусочно - линейным спросом, у которого $ MR $ без разрыва - я подумаю.

Если нигде не обсчитался.

$ Q_{1}^d = 300 - P $ при $ 300 \ge P \ge 100 $
$ TR_1(Q) = 300Q - Q^2 $
$ MR_1(Q) = 300 - 2Q $
$ Q(100) = 300 - 100 = 200 $ => $ MR(200) = -100 $
Далее функция переходит в $ Q_{2}^d = \frac{2000}{P^{0,5}} $ при $ 100 \ge P > 0 $
$ TR_2(Q) = \frac{2000^2}{Q} $
$ MR_2(Q) = -\frac{2000^2}{Q^2} $
$ MR(200) = -\frac{(200*10)^2}{200^2} = -100 $.
Нетрудно заметить, что функция $ MR_2(Q) $ - возрастающая.

Да)
$\newtheorem*{mydef}{Определение}\begin{mydef}\label{wikipedia}Кусочно-линейная функция — функция, определённая на множестве действительных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.\end{mydef}$

Дан, твоя - не кусочно-линейная ;)

Кусочная, но не линейная)
Если у спроса есть излом (недифференцируемость), то у MR будет разрыв, иначе никак. (Подумайте, почему)
Пусть спрос состоит из 2-х "кусков" функций $P_1(Q)$ и $P_2(Q)$, тогда
в точке излома:
$TR_1=P_1(Q^*)\cdot Q^{*}$

$TR_2=P_2(Q^*)\cdot Q^{*}$
Тогда:
$MR_1(Q^{*})=P_1'(Q^{*})\cdot Q^{*}+P_1(Q^{*})$

$MR_2(Q^{*})=P_2'(Q^{*})\cdot Q^{*}+P_1(Q^{*})$

Т.к. $P_1(Q^{*})=P_2(Q^{*})$

$MR_1(Q^*) \bigvee MR_2(Q^*)$
$\Updownarrow$
$P_1'(Q^{*})\bigvee P_2'(Q^{*})$
Очевидно, в точке излома производные функций $P_1(Q^*)$ и $P_2(Q^*)$ различны, следовательно:

$P_1'(Q^{*})\neq P_2'(Q^{*})$
$\Updownarrow$
$MR_1(Q^{*}) \neq MR_2(Q^{*})$
Раз предельные выручки при объеме соответствующем излому различны, то на общем $MR$ будет разрыв.

Вообще говоря, интуитивно и так понятно что так как производные в этой точке различны,то и соответственно $MR$ будут различаться.

возрастание и разрыв - разные вещи, если оперировать понятиями мат анализа. да, кусочные функции будут иметь MR полунепрерывный слева, либо справа, смотря, как мы точку определим, я даже готов признать, что мы можем точку отобразить в отрезок, то есть одному Q соответствует целый отрезок MR, но я не соглашусь, что это возрастание.
функция $ Q_{2}^d = \frac{2000}{P^{0,5}} $ в более общем виде обсуждалась выше))
Евгений, то есть случай с кусочно-линейным спросом, и разрывом предельной выручки вы бы не назвали возрастанием?
Да, ошибся. Я имел ввиду просто кусочную функцию =)
Евгений, ну прикиньте. Попросим левого человека посмотреть на график и сказать какой он (не учитываем восходящее $ MR $ после излома спроса. Он такой смотрит, "ага, функция $ MR $ убывала, а потом при некотором значении произошёл разрыв функции и мы получаем некоторое значение функции $ MR_2(Q^*) $, лежащую выше чем $ MR_1(Q^*) $. Чёрт знает на самом деле, мне кажется её можно назвать возрастающей.

И, кстати, про кусочно-линейные функции). Можно посмотреть тему про поведение монополии при уменьшении спроса (где 4 пункта, по 2 на изменение $ Q $ и $ P $), там есть рисунки с "зю-образный" линией $ MR $. Получается, что она очень похожа на $ MR $ функции, которую я привёл выше) Т.е. убывает, потом разрыв, и начинается из точки по тому же $ Q $, но выше.

Дан, Вам привести строгое определение возрастания? нет проблем:
$для~любых~двух~точек~x_1~и~x_2,~принадлежащих~[a,b],~таких~что~х_1
Наверное, соглашусь (а куда деваться?! =)
В гиперболе, да, две ветки, обе убывающие, но при $ x = 0 $ - разрыв. В общем, это математические заморочки. Экономически в этом нет никакого смысла.
Я тоже нашел: Qd = 1/ln(P) при P больше экспоненты и Q, соответственно, меньше 1 - это, так сказать, из разряда красивых. Удовлетворяет и первому и второму условию. Процесс писать не буду, только результат:
$MR(Q) = e^{1/Q}*(1 - \frac{1}{Q})$