Апофеоз-Арена

А. Составим и преобразуем функцию полезности: $$TU(m)=u-m*p(m)-0.2m*(1-p(m))=u-0.8m*(0.31+0.02m-0.005m^2)-0.2m=u+0.004m^3-0.016m^2-0.488m$$
Найдём производную этой функции:
$TU'(m)=0.012m^2-0.032m-0.488$
Найдём экстремумы функции полезности:
$TU'(m)=0$,
$0.012m^2-0.032m-0.488=0$, |$*250$
$3m^2-8m-122=0$,
$m_1=\frac{8-\sqrt{1408}}{6} \approx -4.9$,
$m_2=\frac{8+\sqrt{1408}}{6} \approx 7.6$
Заметим, что график функции $TU'(m)$ - парабола с ветвями вверх. Тогда $m_1$ - локальный максимум функции $TU(m)$, а $m_2$ - локальный минимум этой функции. На участке $-4.9 \le m \le 7.6$ производная функции $TU(m)$ отрицательна, тогда и на участке $2 \le m \le 7.6$ производная функции полезности отрицательна, то есть на данном участке оптимумом является $m=2$. Аналогично рассуждая, на участке $7.6 \le m \le 10$ оптимумом будет являться $m=10$. Поскольку $TU(2) < TU(10)$, оптимальным значением будет $m=10$.
В решении этого пункта подразумевалось, что заказ может выполнить не только первый, а в том числе какой-либо другой подрядчик, при этом оптимальным значением каждый раз будет $m=10$, поскольку невозвратные издержки не влияют на выбор правительства города.

В. Согласно пункту А, оптимальным значением является $m=10$, тогда $p(m)=p(10)=0.01$. Тогда подрядчик не выполняет работу с вероятностью 0.01.
С вероятностью 0.99 город использует 1 подрядчика, то есть заплатит 10 миллиардов рублей. С вероятность 0.01*0.99 город использует 2 подрядчиков, заплатив 20 миллиардов рублей. С вероятностью $0.99*0.01^{i-1}$ город заплатит 10i миллиардов рублей. Таким образом при большой выборке различных городов С, город ожидаемо заплатит $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1}$ при $i$ от 1 до бесконечности. Этот ряд сходится: $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1} =10.(10)$. Тогда $M \le TC_{ср}$, $M \le 10.(10)$.
К слову, доля средств, которые составляют прибыль компании "Два процента", никак не влияет на решение и ответ.

C. В этом случае город в среднем заплатит $TC_{ср}=\sum 9.9i*0.01^{i-1}$ при $i$ от 1 до 5. Тогда $TC_{ср}=10.101010095$. Тогда $M \le 10.101010095$.