Полдники

a) (7 баллов) Обозначим за $P_{к}$ и $M_{к}$ объемы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия следует, что $x_{к}=2P_{к}$, $y_{к}=P_{к}$, $z_{к}=M_{к}$. Подставляя эти соотношения в уравнение КПВ, получаем, что $3P_{к}+M_{к}=120$ (Это не что иное, как уравнение КПВ Кабаджленда относительно товаров.) Второе уравнение на $P_{к}$ и $M_{к}$ получаем из условия о том, что полдник должен состоять из одного пирожка и одного стакана морса: $P_{к}=M_{к}$. Решая получившуюся систему, получаем, что $P_{к}=M_{к}=30$.

Аналогично, $P_{б}$ и $M_{б}$ — объемы производства пирожков и морса в Бэриленде. Снова имеем соотношения $x_{б}=2P_{б}$, $y_{к}=P_{б}$, $z_{б}=M_{б}$, откуда получаем, что $4P_{б}+M_{б}=120$. Вновь учитывая, что $P_{б}=M_{б}$, получаем, что $P_{б}=M_{б}=24$.

Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников равен $30+24=54$ полдника.

Примечание. Участник может не выводить КПВ относительно товаров, а сразу перейти к уравнениям, учитывающим пропорции необходимых ресурсов: например, $2z_{к}+z_{к}+z_{к}=120$ и $2z_{б}+2z_{б}+z_{б}=120$. При корректном обосновании этого способа действия баллы не должны снижаться.
Кривые производственных возможностей относительно товаров:

б) (8 баллов) В пункте (а) мы вывели, что уравнения КПВ стран в координатах <<пирожки-морс>> имеют вид $3P_{к}+M_{к}=120$ и $4P_{б}+M_{б}=120$. Сложим эти КПВ стандартным образом:

Уравнение этой КПВ имеет вид:
$$M=
\begin{cases}
240-3P, \text{ если } P<40;\\
280-4P, \text{ если } 40\leqslant P\leqslant 70,
\end{cases}$$
где $P$ и $M$ — мировые объемы производства пирожков и морса соответственно.

Теперь нам нужно пересечь график мировой КПВ с лучом $P=M$

Заметим, что точка излома КПВ имеет координаты $(40, 120)$, то есть в ней $M>P$. Следовательно, пересечение в КПВ произойдет на втором участке, то есть тогда, когда $M=280-4P$. Получаем уравнение $M=280-4M$, откуда $M=P=56$.

Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников теперь равен 56.

Примечание. Задача может быть решена и без получения уравнения суммарной КПВ. Воспользовавшись идеей о сравнительных преимуществах (альтернативная стоимость пирожка в Кабаджленде меньше, чем в Бэриленде), заметим, что первый пирожок должен быть произведен в Кабаджленде. Однако даже если мы произведем там все возможные пирожки (40 штук), морса в Бэриленде можно будет произвести большее количество (120 стаканов), значит, там тоже частично нужно производить пирожки. Производя $x$ дополнительных пирожков, мы отказываемся в Бэриленде от $4x$ стаканов морса. Чтобы в сумме не было лишних пирожков или морса, должно быть выполнено $40+x=120-4x$, то есть $x=16$ и всего можно произвести 56 полдников.

в) (15 баллов) Докажем, что максимальный мировой объем потребления полдников равен 60. Для этого: 1) докажем, что искомый объем потребления не больше 60 (оценка); 2) приведем пример обмена между странами, при котором искомый объем равен 60 (пример).

1) (Оценка) Выпишем снова уравнения КПВ стран относительно ресурсов:

$$\begin{cases}
x_{к}+y_{к}+z_{к}&=120,\\
x_{б}+2y_{б}+z_{б}&=120.
\end{cases}$$

Сложим эти уравнения (просто как уравнения, а не в смысле сложения КПВ). Получаем
$$(x_{к}+x_{б})+(y_{к}+y_{б})+(z_{к}+z_{б})=240-y_{б}$$
Обозначим количество полдников за $Q$. Заметим, что, в силу пропорций производства и потребления верны следующие равенства: $2Q=x_{к}+x_{б}$, $Q=y_{к}+y_{б}$, $Q=z_{к}+z_{б}$. Подставляя эти равенства в уравнения выше, получаем, что
$$2Q+Q+Q=240-y_{б}\leqslant 240$$
Таким образом, $4Q\leqslant 240$, откуда $Q\leqslant 60$, что мы и хотели доказать.

2) (Пример.) 60 полдников страны могут получить следующим образом:

• Кабаджлэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц капусты;
• Берилэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц смородины;
• Кабаджлэнд отправляет 30 единиц капусты в Бэриленд, где из муки и этой капусты делают 30 пирожков;
• Из оставшейся капусты и муки в Кабаджлэнде делают 30 пирожков.
• Из смородины в Бэрилэнде делают 60 единиц морса;
• Бэрилэнд отправляет в Кабаджлэнд 30 единиц морса, в результате чего в каждой стране оказывается по 30 полдников.

Примечание 1. Этот пример не единственен. Легко проверить, что подойдет любой пример, в котором Кабаджлэнд производит 60 единиц капусты и отправляет в Бэрилэнд не меньше 30 из них (и при этом производство муки в двух странах определяется из количеств капусты, которые окажутся в двух странах в результате этого, а производство смородины определяется по остаточному принципу)

Примечание 2. Построение примера является неотъемлемой частью решения. Из того, что выполнено неравенство $Q\leqslant 60$ еще не следует, что оно может быть выполнено как равенство. Действительно, наше доказательство неравенства $Q\leqslant 60$ никак не учитывало возможности торговли, а потому это неравество могло быть абсолютно так же доказано и в пунктах а) и б). Тем не менее, как мы видим, в этих пунктах верхняя граница $Q=60$ не достигается.