Большая красная кнопка

Если он покупает не менее 4 стаканов колы, то он может нажать на кнопку, и его ограничение будет иметь вид $1*x+0,5*y\le 5$. Таким образом, все точки $\Delta $DCE также являются доступными.

Однако объединением этих двух треугольников множество доступных наборов не ограничивается. Рассмотрим $\Delta $MEF. Любая его точка может быть получена переносом некоторой точки $\Delta $DCE вниз параллельно оси Y. Иными словами, Петя нажимает на кнопку и покупает большое количество колы, но выпивает её не всю, а лишь столько, сколько соответствует данной точке внутри $\Delta $MEF. Таким образом, все точки $\Delta $MEF являются доступными.

В то же время никакие манипуляции не сделают доступными точки $\Delta $EFB (конечно, кроме точек, лежащих на стороне EF): ведь при количестве сока, большем 3 стаканов, Пете бессмысленно нажимать на кнопку, т.к. на 4 стакана колы денег ему уже не хватит.

\textit{Итак, множеством доступных наборов является пятиугольник OCEFB.}

Теперь найдём доступные наборы, выбирая которые, Петя не станет нажимать на кнопку. Очевидно, что в каждом из них $y<4$. В предыдущем параграфе мы убедились, что при $x>3$ Петя не будет нажимать на кнопку, так что смело включаем в искомое множество $\Delta $GFB (часть множества доступных наборов, в которой $x>3$ и $y<4$), пока что без стороны FG. В отличие от $\Delta $GFB, $\Delta $MEF не войдёт в искомое множество, т.к. точки $\Delta $MEF достигаются лишь при нажатии кнопки.

Но даже из оставшейся части множества доступных наборов -- фигуры ODMFG, -- мы исключим некоторую область, которая не войдёт в искомое множество. Этой областью является трапеция HDMF. Несмотря на то, что в ней $y\le 4$, Петя сможет потребить то же количество колы, заплатив меньше денег, если нажмёт на кнопку и закажет ровно 4 стакана колы по цене 0,5 рубля за стакан: он выпьет свои y стаканов, но при этом сэкономит $(1*y-4*0,5)$рублей. Итак, если Петя захочет потребить набор из трапеции HDMF, то он обязательно нажмёт на кнопку (за исключением разве что стороны HF, где ему безразлично, нажимать кнопку или нет).

А вот прямоугольник OHFG мы включим в искомое множество: если Петя здесь нажмёт на красную кнопку, то сэкономить уже не сможет (он не сможет понизить цену в два раза, обойдясь при этом менее чем двукратным увеличением количества стаканов).

\textit{Итак, Петя обойдётся без нажатия кнопки, если выбранный им набор принадлежит трапеции OHFB.}