Решая задачу о монополисте-паникёре, ученик 11 класса Степан Буквальный захотел найти собственные функции спроса на все блага, которые он потребляет – благо их всего два.
– Вот моя функция полезности $U(x_1,x_2)$, вот мой доход $I$, а вот цены $p_1$ и $p_2$. Начнём с первого блага...
И вот что у него получилось:

$$x_1(p_1,p_2,I)=\frac{p_2\cdot I^a+c}{p_1\cdot p_2 +p_1^b}$$

Надо сказать, Степан имеет вредную привычку обозначать, сам того не замечая, числа буквами. Даже там, где это совершенно бесполезно. Вот и сейчас, взглянув на результат своей работы, он ужаснулся: откуда взялись эти a, b, c? Надо бы вспомнить, чему они равны, но черновики уже разбросаны по всей комнате, а там такой бардак, что быстрее решить заново, чем отыскать их. Только вот нет гарантии, в процессе нового решения не появятся новые ненужные буквы:)
К счастью, Степан смекалист. "Это ведь спрос, а не что попало!" – воскликнул он, и, прикинув что-то в уме, восстановил все три числа.
Попробуйте и вы сделать это!

Комментарии

Если я нигде не ошибся то, например, сочетание $\begin{cases}a=1\\b=2\\c=0\end{cases}$ вроде подходит.
Ага) А что-нибудь еще подходит?
Пока я не доказывал, что других нет, попробую это сделать, если конечно это так.
Еще раз внимательно прочел условие и...
Эврика! - это же до безобразия красиво, если то что я сейчас напишу, окажется верным.)
Тут всё дело в размерности величин. В числителе и в знаменателе должны быть одни и те же размерности, но в знаменателе размерность уже задана - это $p_1\cdot p_2$ т.е. $рубль^2$, значит
$c=0$ как безразмерная величина, $b=2$, $a=1$
еще полезно подумать про то, что цены и доход можно измерять по-разному: в долларах, в рублях, в копейках...
Для меня это пользы не принесет, я это и так понимаю, РУБЛЬ я написал для примера, мне кажется это короче и яснее чем написать деньги в квадрате или что-либо иное.
Ты, насколько я понял, руководствовался тем, что размерности и арифметические действия должны быть согласованы. Это совершенно верно и полностью решает данную задачу. Но это еще не всё, что можно понять на этом примере. Тут есть более общая фишка, и чтобы ее осознать, полезно рассмотреть мысленное изменение единиц измерения цен и дохода. Представь, что завтра все цены будут указывать не в рублях, а в копейках. Или проведут деноминацию. Что будет происходить с выбором Степана?
Ничего, по всей видимости, реальные величины не изменятся.
Не совсем понял, что подразумевается под "размерности и арифметические действия должны быть согласованы"?
Ничего, по всей видимости, реальные величины не изменятся.
Не совсем понял, что подразумевается под "размерности и арифметические действия должны быть согласованы"?
Согласованность размерностей и арифметических действий – это как в физике. Здесь экономическая ситуация настолько проста, что мы можем ее практически отождествить с моделью и при желании добиваться во всём совершенной строгости, как в элементарной физике (другой вопрос – насколько это нам надо). В физике формулы оперируют не только с числами, но и с размерностями. Как только в формуле есть какие-то переменные, мы можем на их место написать размерности и всё должно работать так, чтобы в итоге справа вышла размерность того, что стоит слева. Только для этого надо сначала всё четко определить и не забывать о том, что некоторые константы могут быть на самом деле фиксированными значениями каких-либо прочих переменных, и поэтому им тоже нужно приписывать размерности. Так легко запутаться, есть более простой способ решать задачи типа этой.
У меня другой взгляд на всё это.
Тимур пишет: "c=0 как безразмерная величина". Рассмотрим формулу Q=a-bP. Q измеряется в штуках, P – в рублях, делённых на штуки (вспомним TR=P*Q). Тогда a измеряется в штуках, а b – в штуках в квадрате, делённых на рубли, так ведь? Выходит, b не безразмерная величина, так чем тогда c хуже?
Если придерживаться такого подхода, то каждый раз, строго говоря, пришлось бы писать все эти страшные размерности у параметров, когда мы пишем "с = тому-то". Это неудобно, и я предлагаю придерживаться другого подхода. А именно, формулу Q=a-bP воспринимать так: все переменные, которые в неё подставляются, безразмерные, но где-нибудь отдельно написано: Q – число штук товара, P – число рублей за штуку. Дали тебе цену в копейках за штуку – изволь разделить её на 100, прежде чем подставлять в формулу. Ошибок вроде возникнуть не должно.

Подход Тимура, видимо, позволяет в нашей задаче найти параметры a и b, но не c.

В примере Q=a-bP как раз важно, что константа b формируется как фиксированное значение других факторов, среди которых есть цены прочих товаров (см., например, А минус БэПэ). Именно из этого получается размерность b. В данной задаче, мне кажется, через размерности вполне можно понять, что c=0. Уж не знаю, теорема это будет или придется вводить такую аксиому, но резонно требовать, чтобы складывать можно было только величины одной размерности (или безразмерные). Если с=0, то нет проблем. Пусть с отлично от нуля. Тогда размерность с равна размерности P2*I. Это значит, что константа с – на самом деле фиксированное значение какой-то переменной с той же размерностью, что и P2*I. Но задание формулы спроса означает, что c не зависит от цен товаров и дохода, а других переменных в нашей модели нет. Таким образом, у с никак не может появиться требуемая размерность, наше предположение не верно и остается с=0.
К примеру, $c=2\frac{руб^2}{шт}$. И как она, по-твоему, зависит от "цен товаров и дохода"?
Ты точно внимательно прочитал предыдущий комментарий? Там и написано, что с "не зависит от цен товаров и дохода"
Действительно,
Ну тогда по поводу $С$, можно сказать так:
пусть $I=0$, тогда спрос должен равняться нулю так как он отражает желание и возможность купить товар по данной цене, так как цены у нас могут быть любыми, тогда $С$ должно равняться нулю.
Это верно, если мы предполагаем, что у потребителя только денежный доход. В общем-то, в этой задаче так, наверно, и предполагается, и с формальной точки зрения ты прав. Но можно рассмотреть и более общий случай: когда у потребителя изначально имеется некоторый набор благ $(w_1,w_2)$ – так называемый начальный запас. Тогда бюджетное ограничение будет иметь вид $p_1x_1+p_2x_2\le I+ p_1w_1+p_2w_2$, и при нулевом денежном доходе он будет что-то ненулевое потреблять, т.к. у него есть натуральный доход $ p_1w_1+p_2w_2$. Например, он может продать весь $w_2$ и съесть первого товара в количестве $w_1+\frac{w_2p_2}{p_1}$
Способ решения, который я предполагаю в этой задаче, позволяет найти параметры и в ситуации с начальными запасами.
А мне кажется, через размерности эту задачу решать вообще нельзя.
Допустим, была бы такая формулировка.
Найти параметры $m$ и $n$, если $x(P_x,P_y,I)=a-b\frac{P^m_x}{P_y}+c\frac{I^n}{P_y}$.

Если здесь начать исповедовать размерностную философию, то получится, что:

если $m=1$, то $b$ должно измеряться в (шт. икса)^2/(шт. игрека);
если $m=2$, то $b$ должно измеряться в (шт. икса)^3/(руб.*шт. игрека)...

В общем, чему бы я ни положил равным $m$, и я всегда смогу подстроить под это размерность константы, и вытащить через размерности информацию об $m$ у меня не получится.

А в нашем первоначальном случае - где гарантия, что перед всей дробью не стоит какая-нибудь единица, имеющая свою размерность?

Но в функции $ x_1(p_1,p_2,I)=\frac{p_2\cdot I^a+c}{p_1\cdot p_2 +p_1^b} $ параметры только в степенях, а не в коэффициентах, и поэтому штука, описанная тобой для $ x(P_x,P_y,I)=a-b\frac{P^m_x}{P_y}+c\frac{I^n}{P_y} $, здесь не прокатит.
Скрытая единица, которая на самом деле не единица, а килограмм делить на метр в пятой, это уж вообще перебор. Хотя, это похоже на распространённую в школьных кругах фразу $\pi=180^{\circ}$ (жалкий аналог фразы $\pi \ рад=180^{\circ}$).
Нет, давай уж придерживаться того, что a=a.
А вообще коэффициенты - это хорошая идея. Тимур, предлагаю тебе найти m и n для функции $ x(P_x,P_y,I)=a-b\frac{P^m_x}{P_y}+c\frac{I^n}{P_y} $.
Полностью согласен с Лёшей, что ориентироваться на размерности в экономике не принято.

Пример, предпочтения потребителя заданы простейшей функцией $U = \sqrt{x} + y$. Даны цены товаров $(p_x, p_y)$ и доход $I$.

Легко показать, что функция спроса на первый товар имеет вид: $x = min(\frac{(p_y)^2}{4(p_x)^2},\frac{I}{p_x})$

Внимание вопрос - что в какой размерности и почему?

$ x = min(\frac{p_y^2}{4p_x^2},\frac{I}{p_x}) $
Ага, спасибо, исправил.
Ощущение, что задача "умерла", тем временем, было бы интересно узнать, как она правильно решается.
Вспомни комментарий Марка: "Тут есть более общая фишка, и чтобы ее осознать, полезно рассмотреть мысленное изменение единиц измерения цен и дохода. Представь, что завтра все цены будут указывать не в рублях, а в копейках. Или проведут деноминацию. Что будет происходить с выбором Степана?"
как изменится выбор Степана, я полагаю, что никак.Над остальным обязательно поразмыслю, хотелось бы довести эту задачу до ума.Наконец-то ты зашел, видимо РЭШ обрушился со всей тяжестью на твои плечи)
Наоборот, я прогулял месяц занятий (ездил в США). Завтра возвращаюсь; надо будет купить защитный шлем.
)))