Два соседа имеют следующие функции полезности:
Ua=$\frac{Xa+Xb}{Xb}$*Ya
Ub=$\frac{Ya+Yb}{Ya}$*Xb
Где Xa и Ya - объёмы потребления благ X и Y первым соседом, Xb и Yb - объёмы потребления благ X и Y вторым соседом.
Px=1, Py=2
Оба соседа обладают полной информацией о предпочтениях друг друга.
Доход первого соседа равен 100; он предполагает, что доход второго Ib=200.
а) посчитать значения Xa и Ya если соседи закупают блага по очереди, начинает первый.
б) допустим, соседи стали лучше друг к другу относиться (но их предпочтения не поменялись). Может ли первый сосед вести себя таким образом, чтобы увеличить полезность второго соседа, не уменьшая при этом своей (если да, то насколько)?
в) допустим, доход второго соседа на самом деле оказался 0. оценить ситуацию. (найти фактическое Ua).
Ua=$\frac{Xa+Xb}{Xb}$*Ya
Ub=$\frac{Ya+Yb}{Ya}$*Xb
Где Xa и Ya - объёмы потребления благ X и Y первым соседом, Xb и Yb - объёмы потребления благ X и Y вторым соседом.
Px=1, Py=2
Оба соседа обладают полной информацией о предпочтениях друг друга.
Доход первого соседа равен 100; он предполагает, что доход второго Ib=200.
а) посчитать значения Xa и Ya если соседи закупают блага по очереди, начинает первый.
б) допустим, соседи стали лучше друг к другу относиться (но их предпочтения не поменялись). Может ли первый сосед вести себя таким образом, чтобы увеличить полезность второго соседа, не уменьшая при этом своей (если да, то насколько)?
в) допустим, доход второго соседа на самом деле оказался 0. оценить ситуацию. (найти фактическое Ua).
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
$U_a=\frac{X_a+X_b}{X_b}\cdot Y_a$
$U_b=\frac{Y_a+Y_b}{Y_a}\cdot X_b$
А термин "общественное благо", всё-таки, думаю, здесь не уместен; например, когда сосед B увеличивает количество "общественного блага" X, соседу A от этого только хуже становится - какое же это "благо".
2. "Доход первого соседа равет 100; он предполагает, что доход второго $I_2=200$." А какой доход на самом деле? Видимо, подразумевается, что 200, но лучше написать почётче.
3. Что значит "оценить ситуацию"?
2) ответ, как я понял, не зависит от того какой I2 на самом деле. Или вы что-то другое имеете в виду?
3) расшифровал
Осталось только привести обозначения соседей к единому виду (либо a,b, либо 1,2), и внимательно перечитать текст в поисках опечаток (типа "фунции").
Предположим, что первый установил некое Ya. Бюджетное ограничение, по "предположению" первого, для второго соседа равно Xb + 2Yb = 200. Отсюда Yb=100 - 0,5Xb.
Тогда функция полезности второго соседа будет выглядеть Ub=(1 + Yb/Ya)Xb = Xb + (100Xb - 0,5Xb^2)/Ya. Ya второй сосед воспринимает как заданное, следовательно, Ya - число. Высчитаем производную Ub, приравняем её к нулю. Получим Xb=Ya + 100.
Бюджетное ограничение для первого равно Xa + 2Ya=100. Xa = 100 - 2Ya.
Функция полезности для первого равна Ua = (1 + Xa/Xb)*Ya = Ya + (100 - 2Ya)*Ya/Ya + 100.
Высчитаем производную и приравняем её к нулю. Получим:
1 + ((100-4Ya)*(Ya+100) - (100Ya - 2Ya^2))/(Ya + 100)^2 = 0;
Решив это уравнение, получаем:
Ya = 100 (sqrt(3) - 1); *sqrt - квадратный корень.
Xa = 100 - 2Ya=100(1 - 2sqrt(3) +2) = 100(3 - 2sqrt(3)).
Но это невозможно, т.к. Xа получается меньше нуля. Приравняем Xа к нулю, получим максимальное Ya=50. И тогда ответ (0;50).
б) В процессе...
в) Если предположить, что первый сосед не может дать взаймы второму, второй сосед не может получить деньги "извне", и второй сосед не может потреблять отрицательное количество блага X или Y, то получаем, что Ua не существует, так как Xb находиться в знаменателе, а при Ib=0, у второго соседа нет денег, чтобы купить хоть какое-то количество блага X => Xb=0, а на ноль делить нельзя => Ua - не существует.