Фермерское хозяйство, как и прежде, является единственным продавцом творога на местном рынке. Издержки производства задаются функцией $\TC=0{,}2Q^2+10Q+300$, дневной спрос на творог — функцией $Q_{tv}=400-4P$, где $Q_{tv}$ — количество пачек творога (шт.), $P$ — цена одной пачки (ден. ед.).
При производстве каждой пачки творога остается $a$ литров сыворотки. Спрос на сыворотку изменился со времени предыдущей задачи и описывается функцией $Q_s=250-20P_s$ ($Q_s$ — количество сыворотки, литров, $P_s$ — цена за один литр, ден. ед.). Сыворотку на местном рынке также никто больше не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь.
Фирма выбирает объемы продаж творога и сыворотки так, чтобы ее суммарная прибыль от деятельности на этих двух рынках была максимальна.
При производстве каждой пачки творога остается $a$ литров сыворотки. Спрос на сыворотку изменился со времени предыдущей задачи и описывается функцией $Q_s=250-20P_s$ ($Q_s$ — количество сыворотки, литров, $P_s$ — цена за один литр, ден. ед.). Сыворотку на местном рынке также никто больше не продает, затратами на ее упаковку можно пренебречь.
Фирма выбирает объемы продаж творога и сыворотки так, чтобы ее суммарная прибыль от деятельности на этих двух рынках была максимальна.
- Сколько творога произведет фирма при каждом значении технологического параметра $а$? Найдите уравнение зависимости $Q_{tv}(a)$ и, для наглядности, постройте график этой зависимости (вам может помочь WolframAlfa).
- Верно ли, что чем больше сыворотки "дает" каждая единица творога, тем больше творога будет произведено? Поясните свой результат интуитивно (словами): выделите две разнонаправленные силы, которые действуют на объем $Q_{tv}$ при изменении $a$. Проведите аналогию между зависимостью $Q_{tv}(a)$ и зависимостью между сбережениями индивида и размером процентной ставки.
- Если бы вы были потребителем, покупающим творог (но не сыворотку) у данной фирмы, какое значение параметра $a$ было бы наиболее предпочтительно для вас?
- Допустим, изначально фирма не рассматривала возможность продавать сыворотку и утилизировала этот побочный продукт. Можно ли подобрать функции спроса, издержек и значение параметра $a$ для данной задачи так, чтобы фирма, переходя от утилизации сыворотки к ее продаже, уменьшила объем производства творога?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Q_{tv}=\left\{\begin{matrix}\frac{900+125a}{9+a^{2}},a\in (0;1.25] \\100; a\in (1.25;+\infty)\end{matrix}\right. \\
вот красота!
Получается в итоге так:
$$Q_{tv}(a) =\begin{cases}100,\text{если $a \geq 1.25$;} \\ \frac{125a+900}{a^2 +9},\text{если $a<1.25$.}\end{cases}$$
Update: когда писал, коммента Радмилы еще не было.
"графически"
только не знаю, как второй участок указать
Формулы правильные, а намудрила ты при указании границ. Согласись, неестественно описывать границы интервалов, на которых действует та или иная формула для функции $y=f(x)$, через $y$ (у нас игрек - это ку). Границы этих интервалов должны быть просто числами)
Постарайся привести свой ответ к виду
$$Q_{tv}(a) =\begin{cases}\ldots,\text{если $a$ такое-то;} \\ \ldots,\text{если $a$ сякое-то.}\end{cases}$$
исправила))
осталось точно с границами разобраться
А как еще можно интуитивно объяснить?какие разнонаправленные силы имеются в виду? Можно сказать о функции выручки на рынке сыворотки...
Про аналогии подумаю завтра)
Вам осталось сформулировать эти два мотива)
в интересах потребителя творога же наиболее предпочтителен такой параметр а, при котором цена на творог будет наименьшей?
если так, то подставляем полученное выражение для Qtv, находим точку минимума, у меня получилось а=0,568 ( а вольфрам говорит, что 3/5), при этом P = 73,96.
Пересчитай еще, там не должно быть особо страшных корней)
Лучше не могу сформулировать свои мысли))
Алексей, по поводу 4 пункта, новые фукнции содержат ограничения только о том, что фукнция издержек должна быть возрастающей я так понимаю?
Единственное предположение, которое мне понадобилось для удобного решения 4-ого пункта - предположение о том, что в ситуации, когда фирма утилизирует сыворотку, оптимальный для нее выпуск творога единственен. (Хотя, боюсь, и оно-то на самом деле не нужно :))
Напоминание: как всегда в похожих вопросах, нужно привести пример функций, если твой ответ "можно", и доказательство, что такие функции подобрать нельзя, если твой ответ - "нельзя".
По поводу второго пункта: мне не очень понятна разница между двумя мотивами, которые ты выделил. Наверное, это из-за того, что трудно понять конкретный смысл выражения "лучше покрывать").
Может, более продуктивным будет "плясать" от аналогии? Подумай, почему при росте процентной ставки объем сбережений может вырасти, а может и упасть.
Если при любых a, то тут основная заморочка со спросом)))
Если же доказываешь, что нельзя, то нужно доказывать для всех $a$, никуда не денешься.
При росте $a$ количество творога снижается, количество сыворотки изменяется. Объем сыворотки, максимизирующий прибыль, не зависит от $а$.(При перепроизводстве можно будет продать только максимизирующий прибыль объем). После определенного значения $a$ количество творога остановится , так как большие значения $a$ теперь не влияют даже на максимизирующий объем творога. Следовательно изменения $a$ не будут влиять ни на рынок творога, ни на рынок сыворотки
Сбережения не всегда растут с ростом процентной ставки, это связанно как я понял с эффектами замещения и дохода.С одной стороны при росте процентной ставки мы откажемся от текущего потребления ради будущего тк полезность будущего потребления будет выше, поэтому сбережения увеличатся.С другой стороны при росте процентной ставки наши реальные доходы будут расти, поэтому мы будем увеличивать текущее потребление.
так вот от соотношения эффекта дохода и замещения и будет складыватся увеличим ли мы сбережения или нет.
В данном случае можно выделить два мотива и провести аналогию, даже не зная терминов "эффект замещения" и "эффект дохода".
Более того, слова "эффект дохода" могут даже смутить. Эффект дохода и эффект замещения встречаются во многих моделях выбора, однако мне вспомнились потребление и сбережения потому, что именно для сбережений есть еще один эффект (близкий эффекту дохода, однако формулируемый немного по-другому), который и имеет четкое отражение в ситуации с творогом и сывороткой.
Как в главе 3 пишет Матвеева, в том числе из-за этого эффекта Кейнс отказывался верить в положительную зависимость сбережений от процентной ставки.
"Если человек хочет накопить фиксированную сумму к определенному сроку, чем больше ставка процента, тем меньшую сумму ему нужно вкладывать"
То есть правая ветвь нашей кривой при $a\leqslant1.25$ это и показывает. Чем больше $a$, тем меньшее $Q_{tv}$ нужно произвести. Так?
Только что в нашем случае играет в некотором роде роль "суммы, которую надо накопить"?
Поскольку у нас $a$ играет роль процентной ставки именно для количеств продуктов, а не для количеств рублей, то еще логичнее говорить не о самой максимальной выручке, а об объеме сыворотки, при котором эта выручка максимальна (в нашем случае он равен 125). Я бы в итоге сформулировал как-то так:
"Чем больше $a$, тем меньшим производством творога нам можно обойтись, чтобы получить в итоге объем сыворотки, близкий к оптимальному, то есть к 125 - объему сыворотки, который нам "нужно накопить".
Но это лишь одна из действующих сил)
Какое-то у меня корявое объяснение правда получилось(
Да правильно кто-то говорил экономика это не только MR=MC
:)
А твое объяснение по сути верное, просто слишком эмоциональное для экономиста)
Первая сила в действительности более простая и прямолинейная, чем вторая: дополнительная "доходность" производства творога растет, вот мы и увеличиваем его производство.
При росте процентной ставки растет доходность вложений в будущее, и у нас появляется мотив увеличивать эти вложения, жертвуя сегодняшним потреблением.
Так и здесь: при росте доходности творога, выраженной в сыворотке, мы увеличиваем производство творога, жертвуя прибылью от продажи творога (ведь сейчас мы вынуждены производить творога больше 100, что, если рассматривать сам по себе рынок творога, не оптимально).
$TC=0.05Q^2+50$ , спрос прежний $MR_{1}=100-0.5Q$ , a=1 для удобства.
Суть задачи такова, оптимум при утилизации ищется как $MR_{1}=MC$, а оптимум при переходе на двухрыночную оптимизацию будет определятся как $MR_{1}+MR_{2}=MC$, где $MR_{2}$ мы находим как раз из рынка сыворотки.
Поэтому в данном случае кривая общих $MR=MR_{1}+MR_{2}$ будет определенным образом менятся.Так вот нам нужно такое MC, чтобы попасть именно в тот промежуток где $MR_{общ2}$ будет ниже $MR_{1}$ а следовательно и Q при пересечении меньше.
В моем случае просто ищем прямую которая попадет в участок на котором итоговая суммарная MR ниже исходной
Гораздо более сложная задача которая помойму нерешаемая как мне кажется, возможно ли найти такую фукнцию что при любом a, найдется участок преобразуя который фукнция окажется ниже прежней хоть где-нибудь :)
Отсюда можно сделать какие-то выводы по поводу 2 пункта и силы обратно влияющей на Q, но у меня к сожалению после ломоносова ничего не работает уже в голове, но он уже близко решение! :)
Поподбирать различные функции - всегда полезно, я рад, что ты это поделал.
Но твой пример неверен)
По твоей картинке получается, что "добавочный" $MR$ отрицателен (раз новый $MR$ меньше старого). Но этого не может быть в оптимуме: если $MR$ от сыворотки в некой точке отрицателен, то легко, не трогая количество творога, уменьшить количество продаваемой сыворотки, и тогда выручка от сыворотки (а значит, и общая прибыль) увеличится! И это означает, что мы не были в оптимуме.
К тому же, для достижения истинного оптимума творога нужно производить больше, а именно все 166,(6).
Ты говоришь, что при переходе от утилизации фирма снизит выпуск творога с 166,(6) до какого-то уровня, и будет продавать столько же сыворотки.
На самом деле нет: проверь, что если она оставит 166,(6) творога и просто продаст 125 сыворотки (не всю), то она получит бОльшую прибыль. Истинный оптимум в твоем примере качественно такой же как в первой задаче про творог - вспомни свое решение этой задачи.
В том-то и фишка, что считать и рисовать $MR$ сыворотки как функцию от кол-ва творога можно только если ты уверен, что кол-ва продаваемой сыворотки и творога жестко связаны равенством; но это не обязательно так.
Пересмотри (когда отдохнешь) решение первого пункта этой задачи (два участка у $Q_{tv}(a)$ как раз не случайны: один соответствует случаю, когда продается вся произведенная сыворотка, другой - случаю, когда не вся).
Спокойной ночи!