Двум друзьям Грише и Данилу сообщили, что на рынке спрос и предложение описываются функциями $Q=a-bP$ и $Q=c+dP$ ($a,b,d>0$, $с\le$ $\frac{a}{2}$). Грише дан листочек с коэфицентами a и c, а Данилу - с коэфицентами a и b. Каждому из них жутко любопытно узнать, что же написано на листочке у другого. Друзьям сообщают, что пока они читали свои коэфициенты, на рынке был введён потоварный налог, причём сумма налоговых сборов максимальна.
"Вот бы мне узнать ставку налога!" - воскликнул Гриша - "Я бы узнал, что написано у тебя, Данил, на листочке!"
"Эка невидаль!" - ответил Данил - "Я, например, уже знаю, что написано на листочке у тебя. Да и ставка налога мне уже известна.".
Как же Данил догадался? Воспроизведите ход его рассуждений.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Если предположить, что $c=0$, то остается коэффициент $d$, который не известен никому, откуда взять его значение (ведь по сути ничего больше не дано) никак не возьму в толк, может, где ошибка!?
P.s. почему-то мне кажется, что если тянуть все в общем виде, мы нарушим общность, ведь, по условию, $c\geq 0$
Про $с$ исправил, теперь оно любое, можешь смело тянуть.
Во своё покаяние могу привести лишь два факта:
1) Это моя первая задача.
2) Увидев верную идею решения в самом первом комментарии, я решил, что тот человек решил задачу целиком и успокоился.
Условие исправил.
Больше не буду.
Да, и неплохо всё-таки указать, почему с=0(хотя это, в принципе понятно).
Ну я бы не стал называть то, что я тебе скинул в ЛС "решением", ибо это только основа, базис, так сказать.
Мои искренние извинения всем, кто решал эту задачу.
Посмотрим на ситуацию "глазами Гриши", так он видит картину происходящего (он же заведомо знает, что $c=0$):
Условные обозначения: $Q^E$ - начальное равновесное количество (а не ку в степени экспонента); $Q_{2}^{E}$ - равновесное количество после налога; $P_E$ - цена начального равновесия; $P_d$ и $P_s$, думаю, понятно, что это.
Налоговые поступления здесь будут составлять прямоугольник $ ABHG$, то есть $S_{ABHG}\longrightarrow max$, а это возможно в том случае, когда $\begin{cases}S_{ABFC}\longrightarrow max\\S_{CFHG}\longrightarrow max\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}AC=\frac{\frac{a}{b}-P_E}{2}\\CG=\frac{P_E}{2}\\Q_{2}^{E}=\frac{Q^{E}}{2}\end{cases}$
(ситуация нахождения наибольшей площади прямоугольника, вписанного в прямоугольный треугольник, происходит аналогично нахождению максимума выручки (в общем виде это можно доказат); $Q^E$ - начальное равновесие, а не ку в степени экспонента)
Имеем: $t_{Tx\rightarrow max}=AG=P_d-P_s=\frac{a}{2b}$ (Запомнили это, оно понадобится)
Теперь взглянем на ситуацию "глазами Данила" (Данил не знает, чему равно $c$, поэтому будет выводить всё аналитически):
После введения потоварного налога имеем следующее: $P_d-P_s=t\Longrightarrow Q_d(P)=a-bP_d, Q_s(P)=c+d(P_d-t)$, находим $P_d$: $a-bP_d=c+d(P_d-t)\Longrightarrow P_d=\frac{a-c+dt}{b+d} $, следовательно, $Q_{2}^{E}=a-\frac{ab-bc+bdt}{b+d}=\frac{ad+bc}{d+b}-\frac{bd}{d+b}t$.
$Tx(t)=\frac{ad+bc}{d+b}t-\frac{bd}{d+b}t^2$, найдем $t$, максимизирующее $Tx$:
$Tx'(t)=\frac{ad+bc}{d+b}-\frac{2bd}{d+b}t=0$, то есть $t_{Tx\rightarrow max}=\frac{ad+bc}{2bd}$ - такой ставку налога видит Данил (такая ставка налога действительно максимизирует налоговые поступления).
После "неосторожного высказывания" Данил догадался, что, так как Гриша угадал бы его коэффициенты, зная $t$, то $t$ никак не зависит от $d$ (которая неизвестна никому), то есть $d$ просто напросто сократится, а чтобы это произошло $c=0$, тогда ставка налога действительно составит $t=\frac{ad}{2db}=\frac{a}{2b}$
В самом деле, если приравнять $t_{Данила}$ и $t_{Гриши}$, то получится: $\frac{a}{2b}=\frac{ad+bc}{2db}\Longleftrightarrow \frac{ad}{2db}=\frac{ad+bc}{2db}\Longleftrightarrow ad=ad+bc$, так как $b>0$ (даже равносильными преобразованиями мы это получили), то $c=0$, и Данил действительно догадался, что $c=0$:)
P.s. Прошу прощения, что рисунок немного нагроможден.
Григорий, спасибо, что исправили:)
Итог, решением будет служить только взгляд на ситуацию "глазами Данила"!!
Взглянем на ситуацию "глазами Данила" (Данил не знает, чему равно $с$, поэтому будет выводить всё аналитически):
После введения потоварного налога имеем следующее: $ P_d-P_s=t\Longrightarrow Q_d(P)=a-bP_d, Q_s(P)=c+d(P_d-t) $ находим $ P_d $: $ a-bP_d=c+d(P_d-t)\Longrightarrow P_d=\frac{a-c+dt}{b+d} $, следовательно, $ Q_{2}^{E}=a-\frac{ab-bc+bdt}{b+d}=\frac{ad+bc}{d+b}-\frac{bd}{d+b}t $.
$ Tx(t)=\frac{ad+bc}{d+b}t-\frac{bd}{d+b}t^2 $, найдем $t$, максимизирующее $Tx$:
$ Tx'(t)=\frac{ad+bc}{d+b}-\frac{2bd}{d+b}t=0 $, то есть $ t_{Tx\rightarrow max}=\frac{ad+bc}{2bd} $ - такой ставку налога видит Данил (такая ставка налога действительно максимизирует налоговые поступления).
После "неосторожного высказывания" Данил догадался, что, так как Гриша угадал бы его коэффициенты, зная $t$, то $t$ никак не зависит от $d$ (которая неизвестна никому), то есть $d$ просто-напросто сократится, а чтобы это произошло $c=0$, тогда ставка налога составит $t=\frac{ad}{2db}=\frac{a}{2b} $ (проверить это можно "взглядом Гриши на ситуацию")
Очевидно ось Qd пересекает ось $P$ в точке $\frac{a}{b}$? а ось Qs в точке $-\frac{с}{d}$. Рассмотрим два случая.
1) Точка пересечения лежит не ниже оси Q.
Тогда несложно увидеть, что ставка налога - это $\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}$, то есть зависит от никому не известному $d$, если $c$ не равно нулю, т.е. при $с=0$ ответ есть, а при с не равном нулю - нет.
2) Точка пересечения ниже оси $Q$.
Этот случай посложнее. Если прямая Qs пересекает ось $P$ на полуинтервале (0;$\frac{a}{2}$], то сборы те же, что и в пункте 1). Ну а если нет, то максимум сборов - в точке пересечения Qs?, положение которой, очевидно зависит от $d$.
Если что непонятно, пишите в комментарии.
И в какой программе лучше всего рисовать графики, кто нибудь подскажет?
Я рисую графики в Advanced Grapher.
А как в Grapherе нормально (ключевое слово - нормально) копировать изображения куда-нибудь? А то у меня одно уродство из чёрточек получается.
Файл $\longrightarrow$ Сохранить как рисунок $\longrightarrow$ Выбираешь формат и место
Спасибо за совет.
Действительно, если кривая предложения пересекает ось предложения справа от $\frac{a}{2}$, то тогда государству выгоднее всего установить на рынке Q=$\frac{a}{2}$. Тогда, кстати и решается дополнительная Гришина задача. Я прав или нет?
А вот Гришин вопрос я не понял.
А что тебе непонятно в моём вопросе? Для каждой ставки налога есть равновесное количество продаж и налоговые сборы. Если ты плавно повышаешь ставку от нуля до $ P_d(Q_{пересечения})-P_s(Q_{пересечения}) $, (в случае Q_пересечения>a/2) то налоговые сборы растут, но после этого ты можешь поднять ставку и дальше, и налоговые сборы ещё продолжат расти. Вот об этом и был мой вопрос.
"Вот бы мне узнать, что написано у тебя, Данил, на листочке!" - воскликнул Гриша - "Тогда я бы знал величину поступлений в бюджет!"
"Эка невидаль!" - ответил Данил - "Я, например, хоть и не знаю в точности, что написано на листочке у тебя, но величина поступлений в бюджет мне уже известна".